Trong một phòng họp có 80 người họp được xếp đều ngồi trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ. Lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và dãy ghế có bao nhiêu người?
Bước 1:
Gọi số dãy ghế lúc đầu là \(x\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)\).
Bước 2:
Lúc đầu số người trên một dãy ghế là \(\dfrac{{80}}{x}\) người.
Về sau số người trên 1 dãy ghế là \(\dfrac{{80}}{{x - 2}}\).
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{{80}}{{x - 2}} - \dfrac{{80}}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 10\).
Bước 4:
Vậy lúc đầu có 10 dãy ghế và mỗi dãy có 8 người.
Một người dự định đi mô tô từ A đến B cách nhau 375 k sau đó trở về B với vận tốc đi về bằng nhau. Sau 2h khi đi từ B xe có nghỉ 45 phút. Muốn thời gian khi đi bằng thời gian khi về thì sau khi nghỉ phải tăng vận tốc lên 25 km/h. Tính vận tốc khi đi?
Bước 1:
Gọi vận tốc khi đi là \(x\left( {km/h} \right)\left( {x > 0} \right)\).
Bước 2:
Thời gian đi từ A đến B à \(\dfrac{{375}}{x}\left( h \right)\).
Đổi 45 phút = \(\dfrac{3}{4}\left( h \right)\).
Thời gian đi từ B về A là \(2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{{375 - 2x}}{{x + 25}}\left( h \right)\)
Bước 3:
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{375}}{x} = 2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{{375 - 2x}}{{x + 25}}\\ \Leftrightarrow x = 75\end{array}\)
Bước 4:
Vậy vận tốc khi đi là 75 km/h.
Một hình chữ nhật có cạnh này bằng \(\dfrac{2}{3}\) cạnh kia. Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích của hình chữ nhật giảm 16%. Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu lần lượt là:
Bước 1:
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\left( m \right)\left( {x > 5} \right)\).
Bước 2:
Chiều rộng của bằng \(\dfrac{2}{3}\) chiều dài nên chiều rộng là: \(\dfrac{{2x}}{3}\left( m \right)\).
Sau khi bớt mỗi cạnh đi 5m thì ta có chiều dài, chiều rộng mới lần lượt là \(x - 5\left( m \right)\) và \(\dfrac{{2x}}{3} - 5\left( m \right)\).
Diện tích sau khi bớt là \(\left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{2x}}{3} - 5} \right) = \dfrac{{2{x^2} - 25x + 75}}{3}\).
Diện tích giảm đi 16% là: \(\dfrac{{2{x^2}}}{3} - \dfrac{{16}}{{100}}.\dfrac{{2{x^2}}}{3} = \dfrac{{14{x^2}}}{{25}}\left( {{m^2}} \right)\).
Bước 3:
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 25x + 75}}{3} = \dfrac{{14{x^2}}}{{25}}\\ \Leftrightarrow 25\left( {2{x^2} - 25x + 75} \right) = 3.14{x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 625x + 1875 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 75\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{25}}{8} < 5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Vậy chiều dài là 75m, chiều rộng là 2.75:3=50m.
Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau
Bước 1: Gọi số xe ban đầu của đội xe là \(x\) (xe), \(\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)\).
Theo dự định, mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(\dfrac{{112}}{x}\) (tấn).
Số xe thực tế làm nhiệm vụ là: \(x - 2\) (xe).
=> Thực tế, mỗi xe chở số tấn hàng là: \(\dfrac{{112}}{{x - 2}}\) (tấn).
Bước 2:
Thực tế, mỗi xe phải chở nhiều hơn theo dự định 1 tấn hàng nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{112}}{{x - 2}} - \dfrac{{112}}{x} = 1\\ = > {x^2} - 2x - 224 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\left( {tm} \right)\\x = - 14\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 3:
Vậy số xe ban đầu của đội là 16 xe.
Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.
Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$
Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta có
$2a - 3b = 9 \Rightarrow $$b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$
Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119 \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071 \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0$
$\Delta ' = 6084 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\,\left( N \right)\\a = - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Với $a = 12 \Rightarrow b = 5$
Vậy số lớn hơn là $12$ .
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$. Tìm số bé hơn.
Gọi số bé hơn là $a;a \in {\mathbb{N}^*}$ thì số lớn hơn là $a + 1$
Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$ nên ta có phương trình
$a\left( {a + 1} \right) - \left( {a + a + 1} \right) = 109$$ \Leftrightarrow {a^2} - a - 110 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 11} \right)\left( {a + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 11\,\left( N \right)\\a = - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy số bé hơn là $11$.
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm $5cm$ thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $153c{m^2}$ . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Gọi $x$ là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu $\left( {x > 0} \right)\left( {cm} \right)$
Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $3x\left( {cm} \right)$
Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: $x + 5\left( {cm} \right)$
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: $3x + 5\left( {cm} \right)$
Theo đề bài ta có phương trình: $\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) = 153$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x--128 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 32}}{3}\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: $12cm$ và $4cm.$
Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là $\left( {12 + 4} \right).2 = 32\,\left( {cm} \right)$.
Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng $20cm$ . Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau $4cm$ . Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó có độ dài là:
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là $x\left( {cm} \right)\left( {x > 0} \right)$
Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là $x + 4\left( {cm} \right)$
Vì cạnh huyền bằng $20cm$ nên theo định lý Py-ta-go ta có
${x^2} + {(x + 4)^2} = {20^2}$$ \Leftrightarrow {x^2} + {(x + 4)^2} = 400 $
$\Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 384 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\,\left( N \right)\\x = - 16\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là $12cm$ và $12 + 4 = 16\,\,cm$ .
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(180\,{m^2}\). Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên $4m$ và chiều cao tương ứng giảm đi $1\,\,m$ thì diện tích không đổi.
Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là \(h\left( m \right);h > 0\)
Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(180\,{m^2}\) nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là \(\dfrac{{180.2}}{h}\) hay $\dfrac{{360}}{h}$ $\left( m \right)$
Vì tăng cạnh đáy thêm $4m$ và chiều cao giảm đi $1m$ thì diện tích không đổi nên ta có phương trình
\(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{360}}{h} + 4} \right)\left( {h - 1} \right) = 180 \Rightarrow 4{h^2} - 4h - 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 10\,\left( {TM} \right)\\h = - 9\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Nên chiều cao $h = 10\,\,m$
Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là $\dfrac{{360}}{{10}} = 36\,\,\left( m \right)$
Một công nhân dự định làm $120$ sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được $2$ giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất thêm $3$ sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định $1$ giờ $36$ phút. Hãy tính năng suất dự kiến.
Gọi năng suật dự định là \(x\,\,(0 < x < 20,\) sản phẩm/giờ).
Sản phẩm làm được sau $2$ giờ là: \(2x\) (sản phẩm).
Số sản phẩm còn lại là: \(120 - 2x\) (sản phẩm)
Năng suất sau khi cải tiến là \(x + 3\) (sản phẩm/giờ)
Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: \(\dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\) (giờ)
Do sau khi cải tiến người đó hoàn thành sớm hơn dự định $1$ giờ $36$ phút.
Đổi $1$ giờ $36$ phút bằng $1,6$ giờ.
Theo bài ra có phương trình: $2 + \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}} + 1,6 = \dfrac{{120}}{x}$
$ \Rightarrow 1,6{x^2} + 10,8x - 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\,\left( N \right)\\x = - \dfrac{{75}}{4}\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy năng suất dự định của công nhân đó là $12$ sản phẩm/giờ.
Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành $84$ sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn $2$ sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định \(1\) giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Gọi $x$ là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. $\left( {x \in {N^*},x < 84} \right)$
Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: $x + 2$
Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch:\(\dfrac{{84}}{x}(h)\)
Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế:\(\dfrac{{84}}{{x + 2}}(h)\)
Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định $1h$ nên ta có phương trình: \(\dfrac{{84}}{x} - \dfrac{{84}}{{x + 2}} = 1\)
$ \Leftrightarrow 84\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 126 = 0$
$ \Leftrightarrow x = 12$(nhận) hoặc $x = - 14$(loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm $12$ sản phẩm.
Một xưởng có kế hoạch in xong $6000$ quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn $300$ quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong $6000$ quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch $1$ ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong $1$ ngày theo kế hoạch.
Gọi $x$ (quyển sách) là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch, $\left( {x \in {N^*}} \right)$
Số ngày in theo kế hoạch: $\dfrac{{6000}}{x}$ (ngày)
Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày: $x + 300$ (quyển sách)
Số ngày in thực tế: $\dfrac{{6000}}{{x + 300}}$( ngày)
Theo đề bài ta có phương trình:
$\dfrac{{6000}}{x} - \dfrac{{6000}}{{x + 300}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 300x - 1800000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1200\,\left( N \right)\\x = - 1500\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là: $1200$ (quyển sách).
Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$ giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình, tổ $1$ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ.
Gọi năng suất của tổ 1 là: $x,\,\,\,(x > 0,$ phần công việc/giờ);
Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$ giờ
nên năng suất của tổ 2 là: $\dfrac{1}{2} - x$ (phần công việc/giờ);
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{x}$ (giờ);
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}}$ (giờ);
Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ nên ta có phương trình:
$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}} - 3 \Leftrightarrow 6{x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\,\left( N \right)\\x = - \dfrac{1}{2}\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy thời gian tổ$1$ hoàn thành công việc $1$ mình là 3 giờ.
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $12$giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là $7$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để đội $I$ hoàn thành công việc là bao nhiêu?
Gọi $x$ (giờ) là thời gian đội \(I\) làm một mình xong công việc $\left( {x > 12} \right)$
Thời gian đội thứ \(II\) làm một mình xong công việc là: $x - 7$(giờ)
Trong một giờ đội \(I\) làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong một giờ đội \(II\) làm được \(\dfrac{1}{{x - 7}}\)(công việc)
Trong một giờ cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{{12}}\)(công việc)
Theo bài ra ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{12}}$
$ \Leftrightarrow 12\left( {x - 7} \right) + 12x = x\left( {x - 7} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 31x + 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 28\left( N \right)\\x = 3\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy thời gian đội \(I\) làm xong công việc là $28$ giờ, thời gian đội \(II\) làm xong công việc là: $28 - 7 = 21$(giờ).
Một lâm trường dự định trồng $75$ $ha$ rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ $ha$ so với dự định nên cuối cùng đã trồng được $80$ $ha$ và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu $ha$ rừng?
Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là $x\left( {ha} \right)$ (Điều kiện: $x > 0$)
Theo dự định, thời gian trồng hết $75$ ha rừng là: $\dfrac{{75}}{x}$(tuần)
Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: $x + 5$ (ha)
Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết $80$ ha rừng là: $\dfrac{{80}}{{x + 5}}$ (tuần)
Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là $1$tuần nên ta có phương trình:
$\dfrac{{75}}{x} - \dfrac{{80}}{{x + 5}} = 1$
$ \Leftrightarrow 75\left( {x + 5} \right) - 80x = x\left( {x + 5} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x = - 25\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng $15$ ha rừng.
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $25$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $30$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$ phút. Tính quãng đường $AB$.
Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$ phút nên thời gian về là \(t - \dfrac{1}{3}\) và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : \(25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)\)
Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .
Một ôtô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc hơn dự định là $10$ km/h và đi nửa sau kém hơn dự đinh $6$ km/h. Biết ôtô đã đến đúng như dự định. Tính thời gian người đó dự định đi quãng đường $AB$.
Gọi vận tốc ô tô dự định đi là \(v\) $\left( {km/h} \right)$, $\left( {v > 6} \right)$
Thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(\dfrac{{30}}{{v + 10}}\left( h \right)\)
Thời gian đi nửa quãng đường sau là \(\dfrac{{30}}{{v - 6}}(h)\)
Thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là \(\dfrac{{60}}{v} (h)\)
Theo bài ra ta có : \(\dfrac{{30}}{{v + 10}} + \dfrac{{30}}{{v - 6}} = \dfrac{{60}}{v} \Leftrightarrow \dfrac{{2v + 4}}{{\left( {v + 10} \right)\left( {v - 6} \right)}} = \dfrac{2}{v} \)
\(\Rightarrow 4v - 120 = 0 \Leftrightarrow v = 30\) (thỏa mãn)
Vậy thời gian dự định là $\dfrac{{60}}{{30}} = 2$ giờ.
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ $A$ đến $B$ rồi chạy ngược dòng từ $B$ về $A$ hết tất cả $7$giờ $30$ phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông $AB$ dài $54{\rm{ km}}$ và vận tốc dòng nước là $3{\rm{ km/h}}$
Đổi $7$giờ $30$ phút =$\dfrac{{15}}{2}$(h)
Gọi vận tốc thực của ca nô là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}3$
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là:$x + 3\,\left( {km/h} \right)$
Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: $x{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}\left( {\rm{h}} \right)$
Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: $\dfrac{{54}}{{x - 3}}\left( {\rm{h}} \right)$
Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}$+$\dfrac{{54}}{{x - 3}}$=$\dfrac{{15}}{2}$
Ta có:
$\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow 54(\dfrac{{x - 3 + x + 3}}{{{x^2} - 9}}) = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{5}{{36}}$
$ \Leftrightarrow 72x = 5{x^2} - 45 \Leftrightarrow 5{x^2} - 72x - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy vận tốc thực của ca nô là $15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường $42{\rm{km}}$, rồi sau đó ngược dòng trở lại $20{\rm{ km}}$ hết tổng cộng $5{\rm{h}}$. Biến vận tốc của dòng nước chảy là $2{\rm{ km/h}}$. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)$
Vì vận tốc nước là $2{\rm{ km/h}}$ nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là $x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ và $x{\rm{ - }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Thời gian để ca nô đi hết $42{\rm{ km}}$ xuôi dòng là $\dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}$
Thời gian để ca nô đi hết $20{\rm{ km}}$ ngược dòng là $\dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}$
Tổng thời gian là $5{\rm{h}}$ do đó
$\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5$
$ \Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.$
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12{\rm{ km/h}}$ .
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai $4$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $24$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\).
Trong một giờ:
-Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).
- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x + 4}}\) ( bể).
- Vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{6}\) ( bể).
Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}} \)\(\Rightarrow 5{x^2} - 28x - 96 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\left( {TM} \right)\\x = - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$ giờ bể đầy nước.
