Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1:

Gọi số dãy ghế lúc đầu là $x\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)$.

Bước 2:

Lúc đầu số người trên một dãy ghế là $\dfrac{{80}}{x}$ người.

Về sau số người trên 1 dãy ghế là $\dfrac{{80}}{{x - 2}}$.

Bước 3:

Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{{80}}{{x - 2}} - \dfrac{{80}}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 10$.

Bước 4:

Vậy lúc đầu có 10 dãy ghế và mỗi dãy có 8 người.

Bước 1:

Gọi vận tốc khi đi là $x\left( {km/h} \right)\left( {x > 0} \right)$.

Bước 2:

Thời gian đi từ A đến B à $\dfrac{{375}}{x}\left( h \right)$.

Đổi 45 phút = $\dfrac{3}{4}\left( h \right)$.

Thời gian đi từ B về A là $2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{{375 - 2x}}{{x + 25}}\left( h \right)$

Bước 3:

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\dfrac{{375}}{x} = 2 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{{375 - 2x}}{{x + 25}}\\ \Leftrightarrow x = 75\end{array}$

Bước 4:

Vậy vận tốc khi đi là 75 km/h.

Bước 1:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x\left( m \right)\left( {x > 5} \right)$.

Bước 2:

Chiều rộng của bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều dài nên chiều rộng là: $\dfrac{{2x}}{3}\left( m \right)$.

Sau khi bớt mỗi cạnh đi 5m thì ta có chiều dài, chiều rộng mới lần lượt là $x - 5\left( m \right)$ và $\dfrac{{2x}}{3} - 5\left( m \right)$.

Diện tích sau khi bớt là $\left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{2x}}{3} - 5} \right) = \dfrac{{2{x^2} - 25x + 75}}{3}$.

Diện tích giảm đi 16% là: $\dfrac{{2{x^2}}}{3} - \dfrac{{16}}{{100}}.\dfrac{{2{x^2}}}{3} = \dfrac{{14{x^2}}}{{25}}\left( {{m^2}} \right)$.

Bước 3:

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 25x + 75}}{3} = \dfrac{{14{x^2}}}{{25}}\\ \Leftrightarrow 25\left( {2{x^2} - 25x + 75} \right) = 3.14{x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 625x + 1875 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 75\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{25}}{8} < 5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Bước 4:

Vậy chiều dài là 75m, chiều rộng là 2.75:3=50m.

Bước 1: Gọi số xe ban đầu của đội xe là $x$ (xe), $\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)$.

Theo dự định, mỗi xe phải chở số tấn hàng  là $\dfrac{{112}}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế làm nhiệm vụ là: $x - 2$ (xe).

=> Thực tế, mỗi xe chở số tấn hàng là: $\dfrac{{112}}{{x - 2}}$ (tấn).

Bước 2:

Thực tế, mỗi xe phải chở nhiều hơn theo dự định 1 tấn hàng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\dfrac{{112}}{{x - 2}} - \dfrac{{112}}{x} = 1\\ =  > {x^2} - 2x - 224 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\left( {tm} \right)\\x =  - 14\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Bước 3:

Vậy số xe ban đầu của đội là 16 xe.

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên  ta có

$2a - 3b = 9 \Rightarrow$$b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119 \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071 \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0$

$\Delta ' = 6084 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\,\left( N \right)\\a =  - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $a = 12 \Rightarrow b = 5$

Vậy số  lớn hơn là $12$ .

Gọi số bé hơn là $a;a \in {\mathbb{N}^*}$ thì số lớn hơn là $a + 1$

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$ nên ta có phương trình

$a\left( {a + 1} \right) - \left( {a + a + 1} \right) = 109$$\Leftrightarrow {a^2} - a - 110 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 11} \right)\left( {a + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 11\,\left( N \right)\\a =  - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy số bé hơn là $11$.

Gọi $x$ là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu $\left( {x > 0} \right)\left( {cm} \right)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $3x\left( {cm} \right)$

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: $x + 5\left( {cm} \right)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: $3x + 5\left( {cm} \right)$

Theo đề bài ta có phương trình: $\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) = 153$

$\Leftrightarrow 3{x^2} + 20x--128 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 32}}{3}\,\left( L \right)\end{array} \right.$ 

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: $12cm$ và $4cm.$

Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là $\left( {12 + 4} \right).2 = 32\,\left( {cm} \right)$.

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là $x\left( {cm} \right)\left( {x > 0} \right)$

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là $x + 4\left( {cm} \right)$

Vì cạnh huyền bằng $20cm$  nên theo định lý Py-ta-go ta có

 ${x^2} + {(x + 4)^2} = {20^2}$$\Leftrightarrow {x^2} + {(x + 4)^2} = 400$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 384 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\,\left( N \right)\\x =  - 16\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là $12cm$  và $12 + 4 = 16\,\,cm$ .

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là $h\left( m \right);h > 0$

Vì  thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180\,{m^2}$ nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là $\dfrac{{180.2}}{h}$ hay $\dfrac{{360}}{h}$ $\left( m \right)$

Vì tăng cạnh đáy thêm $4m$  và chiều cao giảm đi $1m$  thì diện tích không đổi nên  ta có phương trình

 $\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{360}}{h} + 4} \right)\left( {h - 1} \right) = 180 \Rightarrow 4{h^2} - 4h - 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 10\,\left( {TM} \right)\\h =  - 9\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Nên chiều cao $h = 10\,\,m$

Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là $\dfrac{{360}}{{10}} = 36\,\,\left( m \right)$

Gọi năng suật dự định là $x\,\,(0 < x < 20,$ sản phẩm/giờ).

Sản phẩm làm được sau $2$  giờ là: $2x$ (sản phẩm).

Số sản phẩm còn lại là: $120 - 2x$ (sản phẩm)

Năng suất sau khi cải tiến là $x + 3$ (sản phẩm/giờ)

Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: $\dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}}$ (giờ)

Do sau khi cải tiến người đó hoàn thành sớm hơn dự định $1$  giờ $36$  phút.

Đổi $1$  giờ $36$  phút bằng $1,6$ giờ.

Theo bài ra có phương trình:  $2 + \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}} + 1,6 = \dfrac{{120}}{x}$

$\Rightarrow 1,6{x^2} + 10,8x - 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\,\left( N \right)\\x =  - \dfrac{{75}}{4}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

 Vậy năng suất dự định của công nhân đó là $12$  sản phẩm/giờ.

Gọi $x$ là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. $\left( {x \in {N^*},x < 84} \right)$

Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: $x + 2$

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch:$\dfrac{{84}}{x}(h)$

Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế:$\dfrac{{84}}{{x + 2}}(h)$

Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định $1h$ nên ta có phương trình: $\dfrac{{84}}{x} - \dfrac{{84}}{{x + 2}} = 1$

$\Leftrightarrow 84\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 126 = 0$

$\Leftrightarrow x = 12$(nhận) hoặc $x =  - 14$(loại)

Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm $12$ sản phẩm.

Gọi $x$ (quyển sách) là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch, $\left( {x \in {N^*}} \right)$

Số ngày in theo kế hoạch: $\dfrac{{6000}}{x}$ (ngày)

Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày: $x + 300$ (quyển sách)

Số ngày in thực tế: $\dfrac{{6000}}{{x + 300}}$( ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

$\dfrac{{6000}}{x} - \dfrac{{6000}}{{x + 300}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 300x - 1800000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1200\,\left( N \right)\\x =  - 1500\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là: $1200$ (quyển sách).

Gọi năng suất của tổ 1 là: $x,\,\,\,(x > 0,$ phần công việc/giờ);

Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$  giờ

nên năng suất của tổ 2 là: $\dfrac{1}{2} - x$ (phần công việc/giờ);

Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{x}$ (giờ);

Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}}$ (giờ);

Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}} - 3 \Leftrightarrow 6{x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\,\left( N \right)\\x =  - \dfrac{1}{2}\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy thời gian tổ$1$ hoàn thành công việc $1$  mình là 3 giờ.

Gọi $x$ (giờ) là thời gian đội $I$ làm một mình xong công việc $\left( {x > 12} \right)$

Thời gian đội thứ $II$ làm một mình xong công việc là: $x - 7$(giờ)

Trong một giờ đội $I$ làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc)

Trong một giờ đội $II$ làm được $\dfrac{1}{{x - 7}}$(công việc)

Trong một giờ cả hai đội làm được $\dfrac{1}{{12}}$(công việc)

Theo bài ra ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{12}}$

$\Leftrightarrow 12\left( {x - 7} \right) + 12x = x\left( {x - 7} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 31x + 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 28\left( N \right)\\x = 3\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy thời gian đội $I$ làm xong công việc là $28$ giờ, thời gian đội $II$ làm xong công việc là: $28 - 7 = 21$(giờ).

Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là $x\left( {ha} \right)$ (Điều kiện: $x > 0$)

Theo dự định, thời gian trồng hết $75$ ha rừng là: $\dfrac{{75}}{x}$(tuần)

Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: $x + 5$ (ha)

Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết $80$ ha rừng là: $\dfrac{{80}}{{x + 5}}$ (tuần)

Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là $1$tuần nên ta có phương trình:

$\dfrac{{75}}{x} - \dfrac{{80}}{{x + 5}} = 1$

$\Leftrightarrow 75\left( {x + 5} \right) - 80x = x\left( {x + 5} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x =  - 25\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng $15$ ha rừng.

Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$  phút nên thời gian về là $t - \dfrac{1}{3}$ và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : $25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)$

Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .

Gọi vận tốc ô tô dự định đi là $v$ $\left( {km/h} \right)$, $\left( {v > 6} \right)$

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là  $\dfrac{{30}}{{v + 10}}\left( h \right)$

Thời gian đi nửa quãng đường sau là $\dfrac{{30}}{{v - 6}}(h)$

Thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là $\dfrac{{60}}{v} (h)$ 

Theo bài ra ta có :  $\dfrac{{30}}{{v + 10}} + \dfrac{{30}}{{v - 6}} = \dfrac{{60}}{v} \Leftrightarrow \dfrac{{2v + 4}}{{\left( {v + 10} \right)\left( {v - 6} \right)}} = \dfrac{2}{v}$

$\Rightarrow 4v - 120 = 0 \Leftrightarrow v = 30$ (thỏa mãn)

Vậy thời gian dự định là $\dfrac{{60}}{{30}} = 2$  giờ.

Đổi $7$giờ $30$ phút =$\dfrac{{15}}{2}$(h)

Gọi vận tốc thực của ca nô là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}3$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là:$x + 3\,\left( {km/h} \right)$  

Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: $x{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}\left( {\rm{h}} \right)$

Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: $\dfrac{{54}}{{x - 3}}\left( {\rm{h}} \right)$

Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}$+$\dfrac{{54}}{{x - 3}}$=$\dfrac{{15}}{2}$

Ta có:

$\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow 54(\dfrac{{x - 3 + x + 3}}{{{x^2} - 9}}) = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{5}{{36}}$

$\Leftrightarrow 72x = 5{x^2} - 45 \Leftrightarrow 5{x^2} - 72x - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy vận tốc thực của ca nô là $15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)$

Vì vận tốc nước là $2{\rm{ km/h}}$  nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là $x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ và $x{\rm{  -  }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Thời gian để ca nô đi hết $42{\rm{ km}}$  xuôi dòng là $\dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}$

Thời gian để ca nô đi hết $20{\rm{ km}}$  ngược dòng là $\dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}$

Tổng thời gian là $5{\rm{h}}$  do đó

$\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5$

$\Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.$

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12{\rm{ km/h}}$ .

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ), $\left( {x > 0} \right)$.

Trong một giờ:      

-Vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ ( bể).

- Vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{{x + 4}}$ ( bể).

- Vòi thứ ba chảy được $\dfrac{1}{6}$ ( bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}}$$\Rightarrow 5{x^2} - 28x - 96 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\left( {TM} \right)\\x =  - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$  giờ bể đầy nước.