Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số xe ban đầu là $x,\,x \in {\mathbb{N}^*}$ (xe) nên số hàng theo kế hoạch mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế là $x + 2$ (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{{x + 2}}$ (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình:

$\dfrac{{24}}{x} - \dfrac{{24}}{{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{x} - \dfrac{{12}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow 12(x + 2) - 12x = x(x + 2)$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( {TM} \right)\\x =  - 6\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy số xe ban đầu là $4$  xe.

Gọi số dãy ghế là x $(x \in N*)$ (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy là: $\dfrac{{360}}{x}$ (ghế)

Số dãy ghế lúc sau là: $x + 1$ (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: $\dfrac{{360}}{x} + 1$  (ghế)

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,(x + 1)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)\left( {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)(360 + x) = 400x\\ \Leftrightarrow 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 39x + 360 = 0\\\Delta  = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,(ktm)\\{x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).

Diện tích của mảnh vườn là:  $30.20 = 600\;\;\left( {{m^2}} \right).$

Gọi chiều rộng của lối đi là  $x\;\left( {0 < x < 20;\;m} \right).$

Sau khi làm lối đi:

Chiều rộng mảnh vườn còn lại: $20 - 2x\;\;\left( m \right).$ 

Chiều dài mảnh vườn còn lại:  $30 - 2x\;\left( m \right).$

Vì diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left( {20 - 2x} \right)\left( {{\rm{30 }}-{\rm{ 2}}x} \right){\rm{ }} = {\rm{ 84\% }}{\rm{.600}}\\ \Leftrightarrow 600-40x - 60x + 4{x^2} = 504\\ \Leftrightarrow 4{x^2}-{\rm{ 100x }} + {\rm{ 96 }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow {x^2}-{\rm{ 25x }} + 24{\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array}$

Ta có: a + b + c = 1 – 25 + 24 = 0.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\,\,\,(tm)\\{x_2} = 24\;\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Vậy chiều rộng lối đi là 1 m.

Nửa chu vi của tấm bìa là: $80:2 = 40\;\left( {cm} \right).$

Gọi chiều rộng của tấm bìa là: $x\;\left( {0 < x < 20,\;cm} \right)$

       chiều dài của tấm bìa là  $40 - x\;\left( {cm} \right).$

Cắt bỏ 4 góc của tấm bìa rồi gập lại thành dạng hình hộp khi đó:

Chiều dài của hình hộp là:  $40 - x - 6 = 34 - x\;\;\left( {cm} \right).$

Chiều rộng của hình hộp là:  $x - 6\;\;\left( {cm} \right).$

Chiều cao của hình hộp là: $3\;cm.$

Lúc này diện tích hình hộp chữ nhật bằng $339\,m^2$ và bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích 1 đáy của nó.

Ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\rm{[}}(34 - x + x - 6).2].3 + (34 - x)(x - 6) = 339\\ \Leftrightarrow 28.2.3 + 34x - 204 - {x^2} + 6x = 339\\ \Leftrightarrow 168 + 40x - 204 - {x^2} = 339\\ \Leftrightarrow {x^2} - 40x + 375 = 0\\\Delta ' = {( - 20)^2} - 1.375 = 25 > 0\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm:  $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 20 + \sqrt {25} \; = 25\;\;\left( {ktm} \right)\\{x_2} = \;20 - \sqrt {25}  = 15\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy tấm bìa ban đầu có kích thước chiều rộng là 15 cm và chiều dài là 40 – 15 = 25 (cm).

Gọi vận tốc của xe máy là $x\;\;(km/h;x > 0)$

Vận tốc của ô tô là $x + 24\;\;(km/h)$

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là: $\dfrac{{120}}{x}\;\;\left( h \right)$

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là: $\dfrac{{120}}{{x + 24}}\;\;\left( h \right)$

Đổi $30$ phút $= \dfrac{1}{2}\;\left( h \right),\;\;20$ phút $= \dfrac{1}{3}\;\left( h \right).$

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{x + 24}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 24}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 120x - 17280 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 24x - 3456 = 0\\\Delta ' = {12^2} + 3456 = 3600 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 60\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm ${x_1} =  - 12 - 60 =  - 72$ (loại) và ${x_2} =  - 12 + 60 = 48$(tmđk).

Vậy vận tốc xe máy là 48km/h, vận tốc ô tô là $48 + 24 = 72$km/h.

Gọi quãng đường $AB$ là $a$ $(km)$.

Ta có: $\dfrac{a}{{40}} + \dfrac{a}{{24}} = 4 \Leftrightarrow a = 60$ $(km)$

Vậy tổng quãng đường cả đi và về của ông $A$ là $120 km$.

Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là $x$ (bộ), $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

$\Rightarrow$ Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong $4800$ bộ đồ là: $\dfrac{{4800}}{x}$ (ngày).

Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế là:$x + 100$ (bộ).

$\Rightarrow$ Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong $4800$ bộ đồ là: $\dfrac{{4800}}{{x + 100}}$ (ngày).

Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong $4800$ bộ đồ trước $8$ ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{4800}}{x} - \dfrac{{4800}}{{x + 100}} = 8\\ \Leftrightarrow 4800\left( {x + 100} \right) - 4800x = 8x\left( {x + 100} \right)\\ \Leftrightarrow 600\left( {x + 100} \right) - 600x = x\left( {x + 100} \right)\\ \Leftrightarrow 600x + 60000 - 600x = {x^2} + 100x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 100x - 60000 = 0\end{array}$

Phương trình có: $\Delta ' = {50^2} + 60000 = 62500 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} =  - 50 + \sqrt {62500}  = 200\,\,\left( {tm} \right)$ và ${x_2} =  - 50 + \sqrt {62500}  =  - 300\,\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm $200$ bộ đồ bảo hộ y tế.

Gọi chiều rộng của khu vườn là $x$ (mét; $x > 0$).

Vì chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng nên chiều dài của khu vườn là $3x\,\,\left( m \right)$.

Do lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 1,5m nên:

Chiều dài phần đất để trồng trọt là: $3x - 1,5.2 = 3x - 3$ (mét)

Chiều rộng phần đất để trồng trọt là: $x - 1,5.2 = x - 3$ (mét)

Vì diện tích vườn để trồng trọt là $4329\,{m^2}$ nên ta có phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 3} \right) = 4329$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 1443 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 1443 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1440 = 0$.

Ta có $\Delta ' = {2^2} + 1440 = 1444 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + \sqrt {1444}  = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = 2 - \sqrt {1444}  =  - 36\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Vậy chiều rộng của khu vườn là 40 mét và chiều dài của khu vườn là 120 mét.

Gọi số lớn là $x\,\,\left( {x > 15,\,\,x \in \mathbb{N}} \right)$, số bé là $y\,\,\,\left( {y \in \mathbb{N}} \right)$.

Ta có tổng của hai số là $2021$ nên ta có phương trình $x + y = 2021\,\,\,\left( 1 \right)$

Hiệu của số lớn và số bé là $15$ nên ta có phương trình $x - y = 15\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2021\\x - y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2036\\y = x - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1018\\y = 1003\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy số lớn là $1018$, số bé là $1003$.

Theo kế hoạch, gọi số người được xét nghiệm trong một giờ là $x$( người) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 12000} \right)$

Theo kế hoạch địa phương ý xét nghiệm $12000$ người hết $\dfrac{{12000}}{x}$ (giờ)

Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là $x + 1000$ (người)

Thực tế, địa phương ý xét nghiệm $12000$ người hết $\dfrac{{12000}}{{x + 1000}}$( giờ)

Vì địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch $16$ giờ nên ta có phương trình

$\begin{array}{l}\dfrac{{12000}}{x} - \dfrac{{12000}}{{x + 1000}} = 16\\ \Leftrightarrow 12000\left( {x + 1000} \right) - 12000x = 16x\left( {x + 1000} \right)\\ \Leftrightarrow 12000x + 12000000 - 12000x = 16{x^2} + 16000\\ \Leftrightarrow 16{x^2} + 16000x - 12000000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 1000x - 750000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 1500x - 500x - 750000 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1500} \right) - 500\left( {x + 1500} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1500} \right)\left( {x - 500} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1500 = 0\\x - 500 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1500\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 500\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần $\dfrac{{12000}}{{500}} = 24$ (giờ) để xét nghiệm xong.

Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là $x{\rm{ }}\left( m \right)$  (ĐK:$x > 0$).

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: $24:2 = 12\,\,\,\left( m \right)$

$\Rightarrow$ Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: $12 - x\,\,\,\left( m \right)$

Khi tăng chiều dài lên $2m$ thì độ dài chiều dài là: $x + 2\,\,(m)$

Khi giảm chiều rộng đi $1m$ thì độ dài chiều rộng là: $12 - x - 1 = 11 - x\,(m)$

Vì khi tăng chiều dài lên $2m$ và giảm chiều rộng đi $1m$ thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1{m^2}$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {11 - x} \right) - x\left( {12 - x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 11x - {x^2} + 22 - 2x - 12x + {x^2} = 1\\ \Leftrightarrow 3x = 21\\ \Leftrightarrow x = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Chiều rộng hình chữ nhật là: $12 - 7 = 5\,\,\left( m \right)$.

Vậy chiều dài và chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là $7m$ và $5m$.

Nửa chu vi của mảnh vườn đã cho là: $60:2 = 30\,\,\left( m \right).$

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x,\,\,y\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < y < 15 < x} \right).$

$\Rightarrow x + y = 30\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Nếu giảm chiều dài đi $1m$ và tăng chiều rộng lên $1m$ thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình: $x - 1 = y + 1$$\Leftrightarrow x - y = 2\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 30\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 32\\y = x - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 16 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy chiều dài mảnh vườn là $16\,\,m$ và chiều rộng mảnh vườn là $14\,m.$