Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển $24$ tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên $2$ xe nữa nên mỗi xe chở ít đi $2$ tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt.
Gọi số xe ban đầu là $x,\,x \in {\mathbb{N}^*}$ (xe) nên số hàng theo kế hoạch mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{x}$ (tấn).
Số xe thực tế là $x + 2$ (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{{x + 2}}$ (tấn).
Theo bài ra ta có phương trình:
$\dfrac{{24}}{x} - \dfrac{{24}}{{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{x} - \dfrac{{12}}{{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow 12(x + 2) - 12x = x(x + 2)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( {TM} \right)\\x = - 6\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy số xe ban đầu là $4$ xe.
Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).
Gọi số dãy ghế là x \((x \in N*)\) (dãy)
Số ghế ở mỗi dãy là: \(\dfrac{{360}}{x}\) (ghế)
Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy)
Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \(\dfrac{{360}}{x} + 1\) (ghế)
Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,(x + 1)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)\left( {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)(360 + x) = 400x\\ \Leftrightarrow 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 39x + 360 = 0\\\Delta = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,(ktm)\\{x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.\)
Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m. Xung quanh về phía trong mảnh đất người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi, phần còn lại là một hình chữ nhật được trồng hoa. Biết rằng diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất. Tính chiều rộng của lối đi.
Diện tích của mảnh vườn là: \(30.20 = 600\;\;\left( {{m^2}} \right).\)
Gọi chiều rộng của lối đi là \(x\;\left( {0 < x < 20;\;m} \right).\)
Sau khi làm lối đi:
Chiều rộng mảnh vườn còn lại: \(20 - 2x\;\;\left( m \right).\)
Chiều dài mảnh vườn còn lại: \(30 - 2x\;\left( m \right).\)
Vì diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left( {20 - 2x} \right)\left( {{\rm{30 }}-{\rm{ 2}}x} \right){\rm{ }} = {\rm{ 84\% }}{\rm{.600}}\\ \Leftrightarrow 600-40x - 60x + 4{x^2} = 504\\ \Leftrightarrow 4{x^2}-{\rm{ 100x }} + {\rm{ 96 }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow {x^2}-{\rm{ 25x }} + 24{\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array}\)
Ta có: a + b + c = 1 – 25 + 24 = 0.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\,\,\,(tm)\\{x_2} = 24\;\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều rộng lối đi là 1 m.
Một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi 80 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 3 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có diện tích là \(339\,cm^2.\) Tính kích thước ban đầu của tấm bìa.
Nửa chu vi của tấm bìa là: \(80:2 = 40\;\left( {cm} \right).\)
Gọi chiều rộng của tấm bìa là: \(x\;\left( {0 < x < 20,\;cm} \right)\)
chiều dài của tấm bìa là \(40 - x\;\left( {cm} \right).\)
Cắt bỏ 4 góc của tấm bìa rồi gập lại thành dạng hình hộp khi đó:
Chiều dài của hình hộp là: \(40 - x - 6 = 34 - x\;\;\left( {cm} \right).\)
Chiều rộng của hình hộp là: \(x - 6\;\;\left( {cm} \right).\)
Chiều cao của hình hộp là: \(3\;cm.\)
Lúc này diện tích hình hộp chữ nhật bằng \(339\,m^2\) và bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích 1 đáy của nó.
Ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\rm{[}}(34 - x + x - 6).2].3 + (34 - x)(x - 6) = 339\\ \Leftrightarrow 28.2.3 + 34x - 204 - {x^2} + 6x = 339\\ \Leftrightarrow 168 + 40x - 204 - {x^2} = 339\\ \Leftrightarrow {x^2} - 40x + 375 = 0\\\Delta ' = {( - 20)^2} - 1.375 = 25 > 0\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 20 + \sqrt {25} \; = 25\;\;\left( {ktm} \right)\\{x_2} = \;20 - \sqrt {25} = 15\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy tấm bìa ban đầu có kích thước chiều rộng là 15 cm và chiều dài là 40 – 15 = 25 (cm).
Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24km/h. Ô tô đến B được 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km.
Gọi vận tốc của xe máy là \(x\;\;(km/h;x > 0)\)
Vận tốc của ô tô là \(x + 24\;\;(km/h)\)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường là: \(\dfrac{{120}}{x}\;\;\left( h \right)\)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường là: \(\dfrac{{120}}{{x + 24}}\;\;\left( h \right)\)
Đổi \(30\) phút \( = \dfrac{1}{2}\;\left( h \right),\;\;20\) phút \( = \dfrac{1}{3}\;\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{x + 24}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 24}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + 120x - 17280 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 24x - 3456 = 0\\\Delta ' = {12^2} + 3456 = 3600 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 60\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = - 12 - 60 = - 72\) (loại) và \({x_2} = - 12 + 60 = 48\)(tmđk).
Vậy vận tốc xe máy là 48km/h, vận tốc ô tô là \(48 + 24 = 72\)km/h.
Đề chính thức ĐGNL HCM 2021
Ông A lái xe đi làm với vận tốc trung bình 40km/h và trở về trên cùng tuyến đường đó với vận tốc trung bình là 24km/h. Nếu tổng thời gian đi và về của ông là 4 giờ thì tổng quãng đường cả đi và về của ông A là:
Gọi quãng đường $AB$ là $a$ $(km)$.
Ta có: \(\dfrac{a}{{40}} + \dfrac{a}{{24}} = 4 \Leftrightarrow a = 60\) $(km)$
Vậy tổng quãng đường cả đi và về của ông $A$ là $120 km$.
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).
Khi đó theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm:
bộ đồ bảo hộ y tế.
Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).
Khi đó theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm:
bộ đồ bảo hộ y tế.
Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là \(x\) (bộ), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
\( \Rightarrow \) Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong \(4800\) bộ đồ là: \(\dfrac{{4800}}{x}\) (ngày).
Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế là:\(x + 100\) (bộ).
\( \Rightarrow \) Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong \(4800\) bộ đồ là: \(\dfrac{{4800}}{{x + 100}}\) (ngày).
Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong \(4800\) bộ đồ trước \(8\) ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{4800}}{x} - \dfrac{{4800}}{{x + 100}} = 8\\ \Leftrightarrow 4800\left( {x + 100} \right) - 4800x = 8x\left( {x + 100} \right)\\ \Leftrightarrow 600\left( {x + 100} \right) - 600x = x\left( {x + 100} \right)\\ \Leftrightarrow 600x + 60000 - 600x = {x^2} + 100x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 100x - 60000 = 0\end{array}\)
Phương trình có: \(\Delta ' = {50^2} + 60000 = 62500 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = - 50 + \sqrt {62500} = 200\,\,\left( {tm} \right)\) và \({x_2} = - 50 + \sqrt {62500} = - 300\,\,\,\left( {ktm} \right)\)
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm \(200\) bộ đồ bảo hộ y tế.
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp \(3\) lần chiều rộng. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 1,5m, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là \(4329\,{m^2}\).
Chiều rộng khu vườn là:
m
Chiều dài khu vườn là:
m
Chiều rộng khu vườn là:
m
Chiều dài khu vườn là:
m
Gọi chiều rộng của khu vườn là \(x\) (mét; \(x > 0\)).
Vì chiều dài gấp \(3\) lần chiều rộng nên chiều dài của khu vườn là \(3x\,\,\left( m \right)\).
Do lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 1,5m nên:
Chiều dài phần đất để trồng trọt là: \(3x - 1,5.2 = 3x - 3\) (mét)
Chiều rộng phần đất để trồng trọt là: \(x - 1,5.2 = x - 3\) (mét)
Vì diện tích vườn để trồng trọt là \(4329\,{m^2}\) nên ta có phương trình: \(\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 3} \right) = 4329\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 1443 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 1443 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1440 = 0\).
Ta có \(\Delta ' = {2^2} + 1440 = 1444 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + \sqrt {1444} = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = 2 - \sqrt {1444} = - 36\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều rộng của khu vườn là 40 mét và chiều dài của khu vườn là 120 mét.
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng \(2021\) và hiệu của số lớn và số bé bằng \(15\).
Số lớn là
Số bé là
Số lớn là
Số bé là
Gọi số lớn là \(x\,\,\left( {x > 15,\,\,x \in \mathbb{N}} \right)\), số bé là \(y\,\,\,\left( {y \in \mathbb{N}} \right)\).
Ta có tổng của hai số là \(2021\) nên ta có phương trình \(x + y = 2021\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hiệu của số lớn và số bé là \(15\) nên ta có phương trình \(x - y = 15\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2021\\x - y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2036\\y = x - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1018\\y = 1003\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy số lớn là \(1018\), số bé là \(1003\).
Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-CoV-2 cho \(12000\) người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm \(1000\) người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là \(16\) giờ.
Theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian
giờ
Theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian
giờ
Theo kế hoạch, gọi số người được xét nghiệm trong một giờ là \(x\)( người) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 12000} \right)\)
Theo kế hoạch địa phương ý xét nghiệm \(12000\) người hết \(\dfrac{{12000}}{x}\) (giờ)
Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là \(x + 1000\) (người)
Thực tế, địa phương ý xét nghiệm \(12000\) người hết \(\dfrac{{12000}}{{x + 1000}}\)( giờ)
Vì địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch \(16\) giờ nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\dfrac{{12000}}{x} - \dfrac{{12000}}{{x + 1000}} = 16\\ \Leftrightarrow 12000\left( {x + 1000} \right) - 12000x = 16x\left( {x + 1000} \right)\\ \Leftrightarrow 12000x + 12000000 - 12000x = 16{x^2} + 16000\\ \Leftrightarrow 16{x^2} + 16000x - 12000000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 1000x - 750000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 1500x - 500x - 750000 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1500} \right) - 500\left( {x + 1500} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1500} \right)\left( {x - 500} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1500 = 0\\x - 500 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1500\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 500\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần \(\dfrac{{12000}}{{500}} = 24\) (giờ) để xét nghiệm xong.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(24m\). Nếu tăng chiều dài lên \(2m\) và giảm chiều rộng đi \(1m\) thì diện tích mảnh đất tăng thêm \(1{m^2}\). Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
Chiều dài mảnh đất là
m
Chiều rộng mảnh đất là
m
Chiều dài mảnh đất là
m
Chiều rộng mảnh đất là
m
Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là \(x{\rm{ }}\left( m \right)\) (ĐK:\(x > 0\)).
Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: \(24:2 = 12\,\,\,\left( m \right)\)
\( \Rightarrow \) Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: \(12 - x\,\,\,\left( m \right)\)
Khi tăng chiều dài lên \(2m\) thì độ dài chiều dài là: \(x + 2\,\,(m)\)
Khi giảm chiều rộng đi \(1m\) thì độ dài chiều rộng là: \(12 - x - 1 = 11 - x\,(m)\)
Vì khi tăng chiều dài lên \(2m\) và giảm chiều rộng đi \(1m\) thì diện tích mảnh đất tăng thêm \(1{m^2}\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {11 - x} \right) - x\left( {12 - x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 11x - {x^2} + 22 - 2x - 12x + {x^2} = 1\\ \Leftrightarrow 3x = 21\\ \Leftrightarrow x = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Chiều rộng hình chữ nhật là: \(12 - 7 = 5\,\,\left( m \right)\).
Vậy chiều dài và chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là \(7m\) và \(5m\).
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \(60\,m.\) Nếu giảm chiều dài đi \(1m\) và tăng chiều rộng lên \(1m\) thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.
Chiều dài mảnh vườn là:
m
Chiều rộng mảnh vườn là
m
Chiều dài mảnh vườn là:
m
Chiều rộng mảnh vườn là
m
Nửa chu vi của mảnh vườn đã cho là: \(60:2 = 30\,\,\left( m \right).\)
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\,\,\left( m \right),\,\,\,\left( {0 < y < 15 < x} \right).\)
\( \Rightarrow x + y = 30\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Nếu giảm chiều dài đi \(1m\) và tăng chiều rộng lên \(1m\) thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình: \(x - 1 = y + 1\)\( \Leftrightarrow x - y = 2\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 30\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 32\\y = x - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 16 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều dài mảnh vườn là \(16\,\,m\) và chiều rộng mảnh vườn là \(14\,m.\)
