Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) ta được một hình nón có chiều cao \(AB\) và bán kính đường tròn đáy là cạnh \(AC\) .

Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} \Rightarrow AB = 16\)

Thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \dfrac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Xét tam giác vuông \(ABD\) ta có \(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Kẻ $CH \bot BD$ tại \(H\) . Khi đó \(ACHB\) là hình vuông nên\(CH = AB = AC = BH = 3\,cm \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1\,cm\)

Xét tam giác vuông \(CHD\) ta có \(C{D^2} = C{H^2} + H{D^2} = {3^2} + {1^2}=10\Rightarrow CD  = \sqrt {10} \)

Khi quay hình thang vuông \(ABDC\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \(AC\) , bán kính đáy lớn \(BD\) , đường sinh \(CD\) và chiều cao \(AB\) .

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là ${S_{xq}} = \pi (R + r)l = \pi \left( {3 + 4} \right)\sqrt {10}  = 7\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có  đường sinh mới\({l'^2} = {\left( {2R} \right)^2} + {\left( {2h} \right)^2} = 4\left( {{R^2} + {h^2}} \right) = {\left( {2l} \right)^2} \Rightarrow l' = 2l\)

Khi đó diện tích xung quanh mới \({S'_{xq}} = \pi .\left( {2R} \right).\left( {2l} \right) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}\) .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \(4\) lần.

Xét tam giác \(ABC\) đều có \(AM\) vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có \(MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) .

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh \(AM\) ta được hình nón đỉnh \(A\) , bán kính đáy là \(MC\) , đường sinh \(AC\) và chiều cao \(AM\) .

Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\) .

Ta uốn hình quạt \(BAC\) thành hình nón đỉnh \(A\) , đường sinh \(AB = 20\,cm\) .

Khi đó độ dài cung \(BC\) chính là chu vi đáy của hình nón

Ta có độ dài cung \(BC\) là \({l_{BC}} = \dfrac{{\pi .20.144}}{{180}} = 16\pi \)

Khi đó chu vi đáy của hình nón \(C = 2\pi R = 16\pi  \Rightarrow R = 8\,cm\) \( \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {R^2} = {20^2} - {8^2} \Rightarrow h = 4\sqrt {21} \,cm\)

Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {.8^2}.4\sqrt {21}  = \dfrac{{256\pi \sqrt {21} }}{3}\) \(\left( {c{m^3}} \right)\)

Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên

\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ

Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 640\pi :\dfrac{2}{3} = 960\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .

Ta có \({V_t} = \pi {R^2}h = 960\pi \)

\(\Leftrightarrow \pi {R^2}.15 = 960\pi \)

\( \Rightarrow R = 8\,cm\) nên bán kính đáy của hình nón là \(R = 8\,cm\).

Chiều cao hình nón \(h = 15\,cm\) \( \Rightarrow \) đường sinh hình nón \({l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 17\,cm\)

Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = \pi .8.17 = 136\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) .