Phương trình \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\) có mấy nghiệm?
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}9x - 9 \ge 0\\16x - 16 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{81}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\16\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$
Ta có \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\)$ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} \right)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}.\left( {x - 1} \right)} = 4$
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}.\sqrt {x - 1} = 4\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} = 4\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1} = 4 \)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1\)
\(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \)
\(\Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \) là
Ta có \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {3.20} }}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {60} }}{{60}} - \dfrac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\)\( = \dfrac{{3\sqrt {60} + \sqrt {60} - 4.\sqrt {4.15} }}{{60}} = \dfrac{{4\sqrt {60} - 4\sqrt {60} }}{{60}} = 0.\)
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\) ta được
Ta có \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\)$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} - \sqrt 5 a$
$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + 4a\left( {2 + \sqrt 5 } \right) - a\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 4\sqrt 5 a}}{4}$
$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1 + 8+ 4\sqrt 5 - 3 - \sqrt 5 - 4\sqrt 5 } \right)}}{4} = \dfrac{{4a}}{4} = a$
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\) ta được:
Điều kiện: \(x \ge 2\)
\(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)\( = \sqrt {x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } \)\( = \sqrt {x - 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| \)\( = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right|\)
+) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \ge \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x - 2 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \) \( = 2\sqrt {x - 2} .\)
+) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} < \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x - 2 < 2 \Leftrightarrow x < 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} \,\,\,khi\,\,\,x \ge 4\\2\sqrt 2 \,\,\,khi\,\,\,2 \le x < 4\end{array} \right..\)
Rút gọn biểu thức \(\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\) với \(x\) không âm ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\\ = 4\sqrt x .\sqrt x - 4\sqrt {2x.x} - \sqrt {2x.x} + \sqrt {2x} .\sqrt {2x} \\ = 4x - 4\sqrt {2{x^2}} - \sqrt {2{x^2}} + 2x\\ = 6x - 5\sqrt {2{x^2}} \\ = 6x - 5\sqrt 2 \left| x \right|\\ = 6x - 5\sqrt 2 x\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 0} \right)\\ = \left( {6 - 5\sqrt 2 } \right)x.\end{array}\)
Biểu thức \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \) sau khi rút gọn là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \\ = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} } - 2\sqrt {\sqrt {25.3} } - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } \\ = 2\sqrt {40.2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {80} .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {20} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {16.5} \sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.4\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3.2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = \left( {2.4 - 2 - 3.2} \right)\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 0.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } = 0.\end{array}\)
Rút gọn \(\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\) với \(x > 0,\,y > 0.\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x .\sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .\sqrt y .\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\ = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2}\\ = x - y.\end{array}\)
Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\) với \(x \ne 2\) ta được:
Điều kiện : \( x \ne 2\)
Ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)
+ Nếu \(x < 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = - \left( {x - 2} \right),\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\)\( = \dfrac{{x - 2}}{{ - \left( {x - 2} \right)}} = - 1\)
+ Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = x - 2,\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1\)
Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {75} - 5\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \) ta được: A=
Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {75} - 5\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \) ta được: A=
\(A = \sqrt {75} - 5\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
Ta có :
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {75} - 5\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {25.3} - 5\left| {1 - \sqrt 3 } \right|\\\,\,\,\,\,\, = 5\sqrt 3 - 5\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\,\,\left( {do\,\,1 - \sqrt 3 < 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 5\sqrt 3 - 5\sqrt 3 + 5\\\,\,\,\,\,\, = 5\end{array}\)
Vậy \(A = 5\).
Rút gọn biểu thức:
\(B = \dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\) ta được B=
Rút gọn biểu thức:
\(B = \dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\) ta được B=
\(B = \dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \sqrt 2 - \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{{2 - 1}}\\\,\,\,\, = \sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\\,\,\,\, = 1\end{array}\)
Vậy \(B = 1\).
Rút gọn \(A = \sqrt 4 + \sqrt 3 .\sqrt {12} \) ta được kết quả A =
Rút gọn \(A = \sqrt 4 + \sqrt 3 .\sqrt {12} \) ta được kết quả A =
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt 4 + \sqrt 3 .\sqrt {12} \\A = \sqrt {{2^2}} + \sqrt {3.12} \\A = 2 + \sqrt {{6^2}} \\A = 2 + 6\\A = 8\end{array}\)
Vậy \(A = 8\).
Phương trình \({x^2} - 3x = 4\) có tập nghiệm viết theo thứ tự từ bé đến lớn là:
Phương trình \({x^2} - 3x = 4\) có tập nghiệm viết theo thứ tự từ bé đến lớn là:
Ta có: \({x^2} - 3x = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\).
Vì \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \dfrac{c}{a} = 4\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \( \left\{ { - 1;4} \right\}\).
