Tập nghiệm của phương trình  $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2$ là:

Ta có: $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right)^3} = {2^3}$

$\Leftrightarrow x + 1 + 7 - x + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right) = 8$

Mà $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2$ nên ta có phương trình

$3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}. 2 + 8 = 8 \Leftrightarrow 6\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\7 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array} \right.$

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 1;7} \right\}$.