Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Ta có $- 9{x^2} + 30x - 25 = 0$$\Leftrightarrow 9{x^2} - 30x + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - 2.3.5x + {5^2} = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}$

Phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{5}{3}.$

Thay $x =  - 3$ vào phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + 3m = 0$ , ta có

$\left( {m - 2} \right){\left( { - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)\left( { - 3} \right) + 3m = 0$$\Leftrightarrow 9m - 18 + 3{m^2} + 3 + 3m = 0 \\\Leftrightarrow 3{m^2} + 12m - 15 = 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0 \\\Leftrightarrow {m^2} - m + 5m - 5 = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 5\left( {m - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 5\end{array} \right.$

Suy ra tổng các giá trị của $m$ là $\left( { - 5} \right) + 1 =  - 4$.

Ta có: $\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0$, do đó phương trình $2{x^2} - 5x + 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 + 1}}{{2.2}} = \dfrac{3}{2}\\{x_2} = \dfrac{{5 - 1}}{{2.2}} = 1\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\}$.

Ta có $- 13{x^2} + 22x - 13 = 0$ $\left( {a =  - 13;b = 22;c =  - 13} \right)$$\Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {22^2} - 4.\left( { - 13} \right).\left( { - 13} \right) =  - 192 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ta có $\sqrt 3 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x - 1 = 0$$\left( {a = \sqrt 3 ;b = \sqrt 3  - 1;c =  - 1} \right)$$\Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} - 4.\sqrt 3 .\left( { - 1} \right)$

$= 4 - 2\sqrt 3  + 4\sqrt 3  = 4 + 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} > 0$ suy ra $\sqrt \Delta   = \sqrt 3  + 1$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3  + \sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$; ${x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3  - \sqrt 3  - 1}}{{2\sqrt 3 }} =  - 1$ .

Ta có: $\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( { - 7} \right) = 53 > 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {53} }}{2}\\x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {53} }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {53} }}{2};x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {53} }}{2}$

Phương trình ${x^2}\; - {\rm{ }}2(m - 2)x\; + {\rm{ }}{m^2} - 3m\; + {\rm{ }}5\; = 0$$\left( {a = 1;b =  - 2\left( {m - 2} \right);c = {m^2} - 3m + 5} \right)$

$\Rightarrow \Delta  = {\left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {{m^2} - 3m + 5} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 12m - 20 =  - 4m - 4$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\ - 4m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1$

Vậy với $m <  - 1$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình  $2{x^2} - 9x + 4 = 0$ có: $\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.4 = 49 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{9 - \sqrt {49} }}{4} = \dfrac{1}{2}\\{x_2} = \dfrac{{9 + \sqrt {49} }}{4} = 4\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\,\,4} \right\}.$

Phương trình ${x^2} + (3 - m)x - m + 6 = 0$$\left( {a = 1;b = 3 - m;c =  - m + 6} \right)$

$\Rightarrow \Delta  = {\left( {3 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - m + 6} \right) = {m^2} - 6m + 9 + 4m - 24 = {m^2} - 2m - 15$

Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{m^2} - 2m - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0$(*)

Phương trình (*) có $\Delta_m  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.\left( { - 15} \right) = 64 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta_m   = 8$  nên có hai nghiệm phân biệt ${m_1} = \dfrac{{2 + 8}}{2} = 5;\,{m_2} = \dfrac{{2 - 8}}{2} =  - 3$

Vậy với $m = 5;m =  - 3$ thì phương trình có nghiệm kép.

Phương trình $2{x^2} + 5x + m - 1 = 0$$\left( {a = 2;b = 5;c = m - 1} \right)$

$\Rightarrow \Delta  = {5^2} - 4.2\left( {m - 1} \right) = 25 - 8m + 8 = 33 - 8m\,$

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \ne 0\left( {ld} \right)\\33 - 8m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{33}}{8}$

Với $m > \dfrac{{33}}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.

Phương trình $m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m + 5 = 0$$\left( {a = m;b =  - 2\left( {m - 2} \right);c = m + 5} \right)$

TH1: $m = 0$ ta có phương trình: $4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 5}}{4}$

TH2: $m \ne 0$

Ta có $\Delta  = {\left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4m\left( {m + 5} \right) =  - 36m + 16$

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 36m + 16 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\36m > 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \dfrac{4}{{9}}\end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{4}{{9}}$

Vậy với $m > \dfrac{4}{{9}}$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Phương trình $m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0$$\left( {a = m;b = 2\left( {m + 1} \right);c = 1} \right)$

TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}$ nên nhận $m = 0$ (1)

TH2: $m \ne 0$, ta có $\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m.1$$= 4{m^2} + 4m + 4 = 4{m^2} + 4m + 1 + 3$$= {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} \ge  - 3$ (luôn đúng với mọi $m$) (2)

Từ (1) và (2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}.$.

Phương trình $2{{\rm{x}}^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 2m + 5 = 0$ có $a = 2;b = 2m - 1;c = {m^2} - 2m + 5$

Suy ra $\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {{m^2} - 2m + 5} \right) =  - 4{m^2} + 12m - 39$$=  - \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right) - 30 =  - {\left( {2m - 3} \right)^2} - 30 \le  - 30 < 0;\,\forall m$

Nên phương trình đã cho vô nghiệm với mọi $m$.

Thay $x = 3$ vào phương trình: $m{.3^2} - 4\left( {m - 1} \right).3 + 4m + 8 = 0 \Leftrightarrow m =  - 20$

Với $m =  - 20$ ta có  phương trình $- 20{x^2} + 84x - 72 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - 21x + 18 = 0$

Phương trình trên có $\Delta  = {\left( { - 21} \right)^2} - 4.5.18 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 9$ nên có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{21 + 9}}{{2.5}} = 3\\x = \dfrac{{21 - 9}}{{2.5}} = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x = \dfrac{6}{5}$.

Gọi ${x_0}$ là nghiệm chung của hai phương trình thì ${x_0}$ phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay $x = {x_0}$ vào hai phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow (m - 2){x_0} + 2 - m = 0$ $\Leftrightarrow (m - 2)(x_0-1)= 0$

+) Nếu $m = 2$ thì $0 = 0$ (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình ${x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} =  - 1$ vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy $m = 2$ không thỏa mãn.

+) Nếu $m \ne 2$ thì ${x_0} = 1$.

Thay ${x_0} = 1$ vào phương trình ${x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0$ ta được $1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3$.

Vậy $m =  - 3$ thì hai phương trình có nghiệm chung.

Gọi nghiệm phương trình (2) là ${x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)$ thì  nghiệm phương trình (1) là $2{x_0}$.

Thay ${x_0},2{x_0}$ lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được $\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 10{x_0} =  - 2m$$\Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{m}{5}$

Do ${x_0} \ne 0$ nên $m \ne 0$.

Thay ${x_0} =  - \dfrac{m}{5}$ vào phương trình (2) ta được ${\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 45\end{array} \right.$

Kết hợp $m \ne 0$ ta được $m =  - 45$

Ta có: $2\left( {{x^2} - 1} \right) = x\left( {mx + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right){x^2} - x - 2 = 0$

TH1: $2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2$, phương trình trở thành $- x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2$

$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 2 \Rightarrow m = 2$ thỏa mãn.

TH2 : $2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.

Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} + 8\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{8}\,\,\left( {tm} \right)$.

Vậy $m = 2,\,\,m = \dfrac{{17}}{8}$.

Phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} + 2x - 1 = 0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta = {2^2} + 4(m - 2) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.$

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Ta có $6{x^2} - 7x = 0$$\Leftrightarrow x\left( {6x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{7}{6}\end{array} \right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.