Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Ta có \( - 9{x^2} + 30x - 25 = 0\)\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 30x + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - 2.3.5x + {5^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}\)

Phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{5}{3}.\)

Thay \(x =  - 3\) vào phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + 3m = 0\) , ta có

\(\left( {m - 2} \right){\left( { - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)\left( { - 3} \right) + 3m = 0\)\( \Leftrightarrow 9m - 18 + 3{m^2} + 3 + 3m = 0 \\\Leftrightarrow 3{m^2} + 12m - 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0 \\\Leftrightarrow {m^2} - m + 5m - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 5\left( {m - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 5\end{array} \right.\)

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \(\left( { - 5} \right) + 1 =  - 4\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0\), do đó phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 + 1}}{{2.2}} = \dfrac{3}{2}\\{x_2} = \dfrac{{5 - 1}}{{2.2}} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\}\).

Ta có \( - 13{x^2} + 22x - 13 = 0\) \(\left( {a =  - 13;b = 22;c =  - 13} \right)\)\( \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {22^2} - 4.\left( { - 13} \right).\left( { - 13} \right) =  - 192 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\sqrt 3 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x - 1 = 0\)\(\left( {a = \sqrt 3 ;b = \sqrt 3  - 1;c =  - 1} \right)\)\( \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} - 4.\sqrt 3 .\left( { - 1} \right)\)

\( = 4 - 2\sqrt 3  + 4\sqrt 3  = 4 + 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} > 0\) suy ra \(\sqrt \Delta   = \sqrt 3  + 1\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3  + \sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\); \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3  - \sqrt 3  - 1}}{{2\sqrt 3 }} =  - 1\) .

Ta có: \(\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( { - 7} \right) = 53 > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {53} }}{2}\\x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {53} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {53} }}{2};x = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {53} }}{2}\)

Phương trình \({x^2}\; - {\rm{ }}2(m - 2)x\; + {\rm{ }}{m^2} - 3m\; + {\rm{ }}5\; = 0\)\(\left( {a = 1;b =  - 2\left( {m - 2} \right);c = {m^2} - 3m + 5} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta  = {\left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {{m^2} - 3m + 5} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 12m - 20 =  - 4m - 4\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\ - 4m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1\)

Vậy với \(m <  - 1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình  \(2{x^2} - 9x + 4 = 0\) có: \(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.4 = 49 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{9 - \sqrt {49} }}{4} = \dfrac{1}{2}\\{x_2} = \dfrac{{9 + \sqrt {49} }}{4} = 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\,\,4} \right\}.\)

Phương trình \({x^2} + (3 - m)x - m + 6 = 0\)\(\left( {a = 1;b = 3 - m;c =  - m + 6} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta  = {\left( {3 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - m + 6} \right) = {m^2} - 6m + 9 + 4m - 24 = {m^2} - 2m - 15\)

Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{m^2} - 2m - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\)(*)

Phương trình (*) có \(\Delta_m  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.\left( { - 15} \right) = 64 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta_m   = 8\)  nên có hai nghiệm phân biệt \({m_1} = \dfrac{{2 + 8}}{2} = 5;\,{m_2} = \dfrac{{2 - 8}}{2} =  - 3\)

Vậy với \(m = 5;m =  - 3\) thì phương trình có nghiệm kép.

Phương trình \(2{x^2} + 5x + m - 1 = 0\)\(\left( {a = 2;b = 5;c = m - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta  = {5^2} - 4.2\left( {m - 1} \right) = 25 - 8m + 8 = 33 - 8m\,\)

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \ne 0\left( {ld} \right)\\33 - 8m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{33}}{8}\)

Với \(m > \dfrac{{33}}{8}\) thì phương trình vô nghiệm.

Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m + 5 = 0\)\(\left( {a = m;b =  - 2\left( {m - 2} \right);c = m + 5} \right)\)

TH1: \(m = 0\) ta có phương trình: \(4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 5}}{4}\)

TH2: \(m \ne 0\)

Ta có \(\Delta  = {\left[ { - 2\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4m\left( {m + 5} \right) =  - 36m + 16\)

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 36m + 16 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\36m > 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \dfrac{4}{{9}}\end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{4}{{9}}\)

Vậy với \(m > \dfrac{4}{{9}}\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\)\(\left( {a = m;b = 2\left( {m + 1} \right);c = 1} \right)\)

TH1: \(m = 0\) ta có phương trình \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}\) nên nhận \(m = 0\) (1)

TH2: \(m \ne 0\), ta có \(\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m.1 \)\(= 4{m^2} + 4m + 4 = 4{m^2} + 4m + 1 + 3 \)\(= {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} \ge  - 3\) (luôn đúng với mọi \(m\)) (2)

Từ (1) và (2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}.\).

Phương trình \(2{{\rm{x}}^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\) có \(a = 2;b = 2m - 1;c = {m^2} - 2m + 5\)

Suy ra \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {{m^2} - 2m + 5} \right) =  - 4{m^2} + 12m - 39\)\( =  - \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right) - 30 =  - {\left( {2m - 3} \right)^2} - 30 \le  - 30 < 0;\,\forall m\)

Nên phương trình đã cho vô nghiệm với mọi \(m\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình: \(m{.3^2} - 4\left( {m - 1} \right).3 + 4m + 8 = 0 \Leftrightarrow m =  - 20\)

Với \(m =  - 20\) ta có  phương trình \( - 20{x^2} + 84x - 72 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - 21x + 18 = 0\)

Phương trình trên có \(\Delta  = {\left( { - 21} \right)^2} - 4.5.18 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 9\) nên có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{21 + 9}}{{2.5}} = 3\\x = \dfrac{{21 - 9}}{{2.5}} = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là \(x = \dfrac{6}{5}\).

Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow (m - 2){x_0} + 2 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 2)(x_0-1)= 0\)

+) Nếu \(m = 2\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình \({x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} =  - 1\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy \(m = 2\) không thỏa mãn.

+) Nếu \(m \ne 2\) thì \({x_0} = 1\).

Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\) ta được \(1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Vậy \(m =  - 3\) thì hai phương trình có nghiệm chung.

Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì  nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\).

Thay \({x_0},2{x_0}\) lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 10{x_0} =  - 2m\)\( \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{m}{5}\)

Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\).

Thay \({x_0} =  - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được \({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 45\end{array} \right.\)

Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m =  - 45\)

Ta có: \(2\left( {{x^2} - 1} \right) = x\left( {mx + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right){x^2} - x - 2 = 0\)

TH1: \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\), phương trình trở thành \( - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

\( \Rightarrow \) phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 2 \Rightarrow m = 2\) thỏa mãn.

TH2 : \(2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} + 8\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{8}\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 2,\,\,m = \dfrac{{17}}{8}\).

Phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} + 2x - 1 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta = {2^2} + 4(m - 2) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Ta có $6{x^2} - 7x = 0$$ \Leftrightarrow x\left( {6x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{7}{6}\end{array} \right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.