Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm.

Phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\)\(\left( {a = m;b = 2\left( {m + 1} \right);c = 1} \right)\)

TH1: \(m = 0\) ta có phương trình \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}\) nên nhận \(m = 0\) (1)

TH2: \(m \ne 0\), ta có \(\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m.1 \)\(= 4{m^2} + 4m + 4 = 4{m^2} + 4m + 1 + 3 \)\(= {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} \ge  - 3\) (luôn đúng với mọi \(m\)) (2)

Từ (1) và (2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}.\).