Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy - {y^2} = \sqrt {3y - 1}  - \sqrt {x + 2y - 1} \,\,\, (1)\\{x^3}y - 4x{y^2} + 7xy - 5x - y + 2 = 0 \,\,\, (2)\end{array} \right.\)

( với \(x \in R,y \in R\)) ta được nghiệm là $(x;y).$ Khi đó $x.y$ bằng

ĐK:  \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge \dfrac{1}{3}\\x + 2y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1-2y\\y \ge \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Xét  \(\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1}  = 0 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3}\)

Thay vào (2) không thỏa mãn.

Xét \(\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1}  \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{3}\\y \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y\left( {x - y} \right) = \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y + \dfrac{1}{{\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1} }} = 0\,\,\left( {VN\,{\rm{do }}\,y \ge \dfrac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\)

Với $x = y,$ thay vào (2) ta được:

\({x^4} - 4{x^3} + 7{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)  

Khi đó: $y = 1$ (TM). Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {1;1} \right).$

Nên $x.y=1.$