Tìm số nguyên $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ mà $x,y$ đều là số nguyên.

Từ phương trình (2) ta có $y = 3m - 1 - mx$. Thay vào phương trình (1) ta được:$x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1$   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Hay $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Vậy $x,y$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{2}{{m + 1}}$ nguyên. Do đó $m + 1$ chỉ có thể là $- 2; - 1;1;2$. Vậy $m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}$ (thỏa mãn)  hoặc $m = 1$ (loại).