Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \sqrt {xy}  = 3\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  = 4\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) . Tính \(x + 2y\) .

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge  - 1\end{array} \right.\) .

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\( \left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P  = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1}  = 16\end{array} \right.\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = {\left( {S - 3} \right)^2}\,\, (S \ge 3)\\2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1}  = 14 - S\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = {\left( {S - 3} \right)^2}\\4\left( {{S^2} -5S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}\end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = \left( {S - 3} \right)^2\\{3S^2} + 8S - 156 = 0\end{array} \right.$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 9 \end{array} \right.\).

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
x.y = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
{x^2} - 6x + 9 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 3\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\).

Suy ra \(x + 2y = 9.\)