Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình

Điều kiện: \(xy \ne 0\).

     Hệ đã cho tương đương:

   $\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = 5\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = S\\\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right).\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = P\end{array} \right.$

Hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P = 13\\S = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow S = 5,P = 6\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 2;y + \dfrac{1}{y} = 3\\x + \dfrac{1}{x} = 3;y + \dfrac{1}{y} = 2\end{array} \right.\). \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};y = 1\end{array} \right.\).

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right),\)\(\left( {x;y} \right)=\left( {\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};1} \right) \).

Hệ tương đương với : \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right)\left( {x + y + xy} \right) = 30\\xy\left( {x + y} \right) + x + y + xy = 11\end{array} \right.\).

Đặt \(xy\left( {x + y} \right) = a;xy + x + y = b\). Ta thu được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}ab = 30\\a + b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5;b = 6\\a = 6;b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 5\\xy + x + y = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 6\\xy + x + y = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 6\\xy + x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\x + y = 2\end{array} \right.(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;y = 1\\x = 1;y = 2\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 5\\xy + x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 1\end{array} \right.(L)\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x + y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2};y = \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2};y = \dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\).

Vậy hệ có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {\dfrac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{5 \mp \sqrt {21} }}{2}} \right)\)

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn đề bài là \(\left( {\dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\) .

Điều kiện: \(x,y \ge 0\). Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

\( {x^2} + \sqrt x  - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2\left( {y - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)} \right] = 0\)

Vì \(\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right) > 0\)

nên phương trình đã cho tương đương với: \(x = y\).

Thay \(x = y\)  vào phương trình \({x^2} + \sqrt x  = 2y\)  ta được \({x^2} + \sqrt x  = 2x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - x + \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 1 \Rightarrow y = 1\\x + \sqrt x  - 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Ta có \({\rm{pt}}\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{5}{4} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\\\sqrt x  = \dfrac{{ - \sqrt 5  - 1}}{2}\left( L \right)\end{array} \right. \)\(\Rightarrow x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}$

Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.

Hệ đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{y^2} + 6x - {y^2} - 6 = y{x^2} + y\\y{x^2} + 6y - {x^2} - 6 = x{y^2} + x\end{array} \right.\)

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

\(\begin{array}{l}2xy\left( {y - x} \right) + 7\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 2xy + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x + y - 2xy + 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+   Nếu \(x = y\) thay vào hệ ta có: \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y = 3\end{array} \right.\)

+   Nếu \(x + y - 2xy + 7 = 0 \)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2x + 2y - 4xy + 14 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) + 2y\left( {1 - 2x} \right) = - 15\\
\Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - 2y} \right) = 15
\end{array}$

 Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

 \({x^2} + {y^2} - 5x - 5x + 12 = 0 \)$ \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 + 4{y^2} - 20y + 25 - 2 = 0$

\(\Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} + {\left( {2y - 5} \right)^2} = 2\).

Đặt \(a = 2x - 5,b = 2y - 5\)

 Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\\left( {a + 4} \right)\left( {b + 4} \right) = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 2\\ab + 4\left( {a + b} \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 8\\ab = 31\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right)\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 8\\ab = 31\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)} \right\}\)

Suy ra có \(1\) cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán  là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)

Điều kiện \(xyz \ne 0\) . Nhận thấy nếu một trong ba số \(x,y,z\)  có một số âm, chẳng hạn \(x < 0\)  thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số \(x,y,z\) là số âm, chẳng hạn \(x,y < 0\)  thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số \(x,y,z\) cùng dấu.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{x}{{{z^2}}} + \dfrac{1}{z}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{y}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{z}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{y}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{x + z}}{{{z^2}}}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{y + x}}{{{x^2}}}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{z + y}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.$

\( \bullet \) Trường hợp 1: \(x,y,z > 0\)

Nếu \(x \ge y\)  chia hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế của phươngng trình thứ ba của hệ ta được \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + y}}{{y + z}}\)\( \Rightarrow x \ge z\)

Với \(x \ge z\) chia hai vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + x}} \Rightarrow z \le y\)

Với \(z \le y\) chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + z}} \Rightarrow x \le y\)

Suy ra \(x = y = z\)  thay vào hệ phương trình đã cho ta tìm được $\dfrac{1}{{{x^2}}} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \,\,\left( {x > 0} \right)$ suy ra nghiệm \(x = y = z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \bullet \) Trường hợp 2: \(x,y,z < 0\) ta làm tương tự, tìm được thêm nghiệm \(x = y = z =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy hệ phương trình có $2$  nghiệm.

Xét phương trình \({x^5} - {y^5} + xy = 0 \Leftrightarrow {x^5} - {y^5} + xy({y^3} - {x^3}) = 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^4} + {y^4}) = 0\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^4} + {y^4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y $

Thử lại \(x = y\) không thỏa mãn phương trình đầu của hệ.

Vậy hệ vô nghiệm.

Cộng vế với vế của từng phương trình với nhau ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,({x^3} + 3{x^2} + x - 5) + ({y^3} + 3{y^2} + y - 5) + ({z^3} + 3{z^2} + z - 5) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 4x + 5) + (y - 1)({y^2} + 4y + 5) + (z - 1)({z^2} + 4z + 5) = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Nếu \(x > 1 \Rightarrow {z^3} + 3{z^2} + 2z - 5 > 1 \Leftrightarrow (z - 1)({z^2} + 4x + 6) > 0 \Rightarrow z > 1\)

Tương tự với \(z > 1 \Rightarrow y > 1\)

Suy ra \(VT(1) > 0\) (phương trình vô nghiệm)

Chứng minh tương tự với \(x < 1\) ta cũng được phương trình (1) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = y = z = 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{60{x^2}}}{{36{x^2} + 25}}\\z = \dfrac{{60{y^2}}}{{36{y^2} + 25}}\\x = \dfrac{{60{z^2}}}{{36{z^2} + 25}}\end{array} \right. \Rightarrow x,y,z \ge 0\)

Nhận thấy \(x = y = z = 0\) là 1 nghiệm của hệ phương trình

Xét \(x > 0;y > 0;z > 0\) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có:

\(36{x^2} + 25 \ge 2\sqrt {36{x^2}.25}  = 60\left| x \right| \ge 60x \Rightarrow y \le x\)

Chứng minh tương tự, ta được \(z \le y;x \le z \Rightarrow x \le z \le y \le x \Rightarrow x = y = z\)

Thay vào phương trình (1) ta được \(36{x^3} - 60{x^2} + 25x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}\) hay \(x = y = z = \dfrac{5}{6}\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z = 0\) (khi \(x = y = z = 0\) )

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l} - ax + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 1 = 0\end{array} \right.$

Nếu \(x \ge  - 1\) ta có \(x + 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow x(a + 1) =  - 2\)   \((1)\)

Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne  - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \Rightarrow y = \dfrac{{a + 3}}{{a + 1}}\)

Do \(x \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{{a + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a - 1)(a + 1) \ge 0\\a \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a <  - 1\end{array} \right.\)

Nếu \(x <  - 1\) ta có \( - x - 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow (a - 1)x = 0\)  \((2)\)

Nếu \(a = 1\) thì (2) là \(0x = 0\) đúng với mọi \(x <  - 1\) nên (2) có vô số nghiệm hay hệ đã cho có vô số nghiệm. (loại)

Nếu \(a \ne 1\) thì (2) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) (loại do \(x <  - 1\)). Do đó \((2)\) vô nghiệm khi \(a \ne 1\).

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình \((1)\) vô nghiệm và phương trình \((2)\)  có nghiệm duy nhất.

Trường hợp này không xảy ra vì \((2)\) chỉ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Trường hợp 2: Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất và phương trình \((2)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a <  - 1\end{array} \right.\\a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 1\end{array} \right.\)

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{3}{2} \le x \le 4\\ - \dfrac{3}{2} \le x \le 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4\\\left( {\sqrt {2x + 3}  - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y}  - \sqrt {4 - x} } \right) = 0\end{array} \right.\\{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4\\\dfrac{{2\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{{x - y}}{{\sqrt {4 - x}  + \sqrt {4 - y} }} = 0\end{array} \right.\\{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4\\\left( {x - y} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x}  + \sqrt {4 - y} }}} \right) = 0\end{array} \right.\\{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4\\x - y = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {do:\dfrac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x}  + \sqrt {4 - y} }} > 0} \right)\\{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4\\x = y\end{array} \right.\\{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 7 + 2\sqrt {\left( {2x + 3} \right)\left( {4 - x} \right)}  = 16\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 3\\x = y = \dfrac{{11}}{9}\end{array} \right.\end{array}\)

So với điều kiện, hệ có hai nghiệm: \(S = \left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;3} \right),\left( {\dfrac{{11}}{9};\dfrac{{11}}{9}} \right)} \right\}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + {y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = 5\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = a;y + \dfrac{1}{y} = b\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 - b\\{(5 - b)^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\(b - 2)(b - 3) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 2\\y + \dfrac{1}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Giải \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 3\\y + \dfrac{1}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm\(\left( {x;y} \right)\) là : \(\left( {1;\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {1;\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2};1} \right),\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};1} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} = 1 - y \ge 0\\{\left( {1 - y} \right)^2} = 1 - z \ge 0\\{\left( {1 - z} \right)^2} = 1 - t \ge 0\\{\left( {1 - t} \right)^2} = 1 - x \ge 0\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b = 1 - y \ge 0\\c = 1 - z \ge 0\\d = 1 - t \ge 0\\a = 1 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\)

+) Xét \(a = 0 \Rightarrow b = c = d = 0 \Rightarrow x = y = z = t = 1\)

+) Xét \(a \ne 0 \Rightarrow b;c;d \ne 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\) nhân theo vế ta có \({\left( {abcd} \right)^2} - abcd = 0 \Leftrightarrow abcd = 1\)( vì \(abcd \ne 0\))

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b \ge 0\\{b^2} = c \ge 0\\{c^2} = d \ge 0\\{d^2} = a \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = a + b + c + d\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2{d^2} - 2a + 2b + 2c + 2d = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 = 0\end{array}\)

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 4\sqrt[4]{{{a^2}{b^2}{c^2}{d^2}}} = 4\)

\( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = d = 1 \Rightarrow x = y = z = t = 0\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y;z;t} \right)\)là \(\left( {0;0;0;0} \right);\left( {1;1;1;1} \right)\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18\,\,\,\left( 1 \right)\\{y^3} = {x^2} + 18\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Trừ vế theo vế của phương trình (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {y^3} = {y^2} - {x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) =  - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\).

Thay vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} = {x^2} + 18 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 27 - {x^2} + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\{x^2} + 2x + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phương trình \({x^2} + 2x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 = 0\) (vô nghiệm do \({\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5 > 0\,\,\,\forall x\))

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 3\) \( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\).

TH2: \({x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\).

Vì  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18 \ge 18 \Rightarrow x \ge \sqrt[3]{{18}} > 0\\{y^3} = {x^2} + 18 \ge 18 \Rightarrow y \ge \sqrt[3]{{18}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow x + y > 0\)

Lại có \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{4}{y^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y\). 

Do đó \({x^2} + xy + {y^2} + x + y > 0\,\,\forall x,y\), do đó phương trình \({x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{y^2} + x{y^2} = 2 + x - 2{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1}  + 1} \right)\left( {{y^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 2{x^2} - x - 2} \right) + \left( {2{y^2} + x{y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + {y^2}\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1 + {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 1 + {y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\{y^2} = 1 - {x^2}\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(x =  - 2\) thay vào \(\left( 2 \right)\) được:

\(\begin{array}{l}4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1}  + 1} \right)\left( {{y^2} + 8 - 6 - 2} \right) \Leftrightarrow 4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1}  + 1} \right).{y^2}\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  + 1 - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {y^2}\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y^2} = 0\\\sqrt {{y^2} + 1}  - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\{y^2} + 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\{y^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  \pm 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \({y^2} = 1 - {x^2}\) thay vào (2) được:

\(\begin{array}{l}4\left( {1 - {x^2}} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {1 - {x^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {x^2}} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( { - {x^3} - {x^2} + 3x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} - 3x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {4x + 4 - \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\4x + 4 - \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 1\) thì \({y^2} = 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 0\).

Với \(4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}}  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4x + 4 = \sqrt {2 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) =  - {x^2} + 2x + 5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}}  = \dfrac{{ - {x^2} + 2x + 5}}{{{x^2} + 2x - 1}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}}  = \dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

(Do \({x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 \) không thỏa mãn phương trình)

Vì \({x^2} + {y^2} = 1\) nên \({x^2} \le 1 \Rightarrow  - 1 \le x \le 1\)

\( \Rightarrow 1 \le \sqrt {2 - {x^2}}  \le \sqrt 2 \) hay \(1 \le VT\left( * \right) \le \sqrt 2 \)

Lại có,

Với \(x \le 1\) thì \(\dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}} \ge \dfrac{{6 - {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2} - 2}} = 3 \Rightarrow VP\left( * \right) \ge 3\)

Với \(x \ge  - 1\) thì \(\dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}} \le \dfrac{{6 - {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} - 2}} =  - 1 \Rightarrow VP\left( * \right) \le  - 1\)

Do đó với \( - 1 \le x \le 1\) thì \(VP\left( * \right) \ge 3\) hoặc .

\( \Rightarrow \) (*) vô nghiệm do \(1 \le VT\left( * \right) \le \sqrt 2 \) và \(VP\left( * \right) \ge 3\) hoặc \(VP\left( * \right) \le  - 1\).

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;0} \right),\left( { - 2; - 2\sqrt 2 } \right),\left( { - 2;2\sqrt 2 } \right),\left( {1;0} \right)} \right\}\).