Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ - ax}} + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right.$. Giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l} - ax + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 1 = 0\end{array} \right.$

Nếu \(x \ge  - 1\) ta có \(x + 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow x(a + 1) =  - 2\)   \((1)\)

Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne  - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \Rightarrow y = \dfrac{{a + 3}}{{a + 1}}\)

Do \(x \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{{a + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a - 1)(a + 1) \ge 0\\a \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a <  - 1\end{array} \right.\)

Nếu \(x <  - 1\) ta có \( - x - 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow (a - 1)x = 0\)  \((2)\)

Nếu \(a = 1\) thì (2) là \(0x = 0\) đúng với mọi \(x <  - 1\) nên (2) có vô số nghiệm hay hệ đã cho có vô số nghiệm. (loại)

Nếu \(a \ne 1\) thì (2) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) (loại do \(x <  - 1\)). Do đó \((2)\) vô nghiệm khi \(a \ne 1\).

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình \((1)\) vô nghiệm và phương trình \((2)\)  có nghiệm duy nhất.

Trường hợp này không xảy ra vì \((2)\) chỉ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Trường hợp 2: Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất và phương trình \((2)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a <  - 1\end{array} \right.\\a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 1\end{array} \right.\)