Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\). Số nghiệm của hệ phương trình trên là:

Điều kiện \(xyz \ne 0\) . Nhận thấy nếu một trong ba số \(x,y,z\)  có một số âm, chẳng hạn \(x < 0\)  thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số \(x,y,z\) là số âm, chẳng hạn \(x,y < 0\)  thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số \(x,y,z\) cùng dấu.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{x}{{{z^2}}} + \dfrac{1}{z}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{y}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{z}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{y}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{x + z}}{{{z^2}}}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{y + x}}{{{x^2}}}\\
\dfrac{1}{{xyz}} = \dfrac{{z + y}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.$

\( \bullet \) Trường hợp 1: \(x,y,z > 0\)

Nếu \(x \ge y\)  chia hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế của phươngng trình thứ ba của hệ ta được \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + y}}{{y + z}}\)\( \Rightarrow x \ge z\)

Với \(x \ge z\) chia hai vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + x}} \Rightarrow z \le y\)

Với \(z \le y\) chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + z}} \Rightarrow x \le y\)

Suy ra \(x = y = z\)  thay vào hệ phương trình đã cho ta tìm được $\dfrac{1}{{{x^2}}} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \,\,\left( {x > 0} \right)$ suy ra nghiệm \(x = y = z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \bullet \) Trường hợp 2: \(x,y,z < 0\) ta làm tương tự, tìm được thêm nghiệm \(x = y = z =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy hệ phương trình có $2$  nghiệm.