Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x  = 2y\\{y^2} + \sqrt y  = 2x\end{array} \right.\)  có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) ?

Điều kiện: \(x,y \ge 0\). Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

\( {x^2} + \sqrt x  - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2\left( {y - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)} \right] = 0\)

Vì \(\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right) > 0\)

nên phương trình đã cho tương đương với: \(x = y\).

Thay \(x = y\)  vào phương trình \({x^2} + \sqrt x  = 2y\)  ta được \({x^2} + \sqrt x  = 2x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - x + \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 1 \Rightarrow y = 1\\x + \sqrt x  - 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Ta có \({\rm{pt}}\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{5}{4} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\\\sqrt x  = \dfrac{{ - \sqrt 5  - 1}}{2}\left( L \right)\end{array} \right. \)\(\Rightarrow x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}$

Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.