Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\\left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\)  có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\)  mà \(x > y\)  ?

Hệ đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{y^2} + 6x - {y^2} - 6 = y{x^2} + y\\y{x^2} + 6y - {x^2} - 6 = x{y^2} + x\end{array} \right.\)

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

\(\begin{array}{l}2xy\left( {y - x} \right) + 7\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 2xy + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x + y - 2xy + 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+   Nếu \(x = y\) thay vào hệ ta có: \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y = 3\end{array} \right.\)

+   Nếu \(x + y - 2xy + 7 = 0 \)

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2x + 2y - 4xy + 14 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) + 2y\left( {1 - 2x} \right) = - 15\\
\Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - 2y} \right) = 15
\end{array}$

 Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

 \({x^2} + {y^2} - 5x - 5x + 12 = 0 \)$ \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 + 4{y^2} - 20y + 25 - 2 = 0$

\(\Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} + {\left( {2y - 5} \right)^2} = 2\).

Đặt \(a = 2x - 5,b = 2y - 5\)

 Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\\left( {a + 4} \right)\left( {b + 4} \right) = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 2\\ab + 4\left( {a + b} \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 8\\ab = 31\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right)\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 8\\ab = 31\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)} \right\}\)

Suy ra có \(1\) cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán  là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)