Cho \((x;y;z)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right.\) 

Giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{60{x^2}}}{{36{x^2} + 25}}\\z = \dfrac{{60{y^2}}}{{36{y^2} + 25}}\\x = \dfrac{{60{z^2}}}{{36{z^2} + 25}}\end{array} \right. \Rightarrow x,y,z \ge 0\)

Nhận thấy \(x = y = z = 0\) là 1 nghiệm của hệ phương trình

Xét \(x > 0;y > 0;z > 0\) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có:

\(36{x^2} + 25 \ge 2\sqrt {36{x^2}.25}  = 60\left| x \right| \ge 60x \Rightarrow y \le x\)

Chứng minh tương tự, ta được \(z \le y;x \le z \Rightarrow x \le z \le y \le x \Rightarrow x = y = z\)

Thay vào phương trình (1) ta được \(36{x^3} - 60{x^2} + 25x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}\) hay \(x = y = z = \dfrac{5}{6}\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z = 0\) (khi \(x = y = z = 0\) )