Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right.\) có số nghiệm là

Điều kiện: \(xy \ne 0\).

     Hệ đã cho tương đương:

   $\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = 5\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = S\\\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right).\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = P\end{array} \right.$

Hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P = 13\\S = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow S = 5,P = 6\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 2;y + \dfrac{1}{y} = 3\\x + \dfrac{1}{x} = 3;y + \dfrac{1}{y} = 2\end{array} \right.\). \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};y = 1\end{array} \right.\).

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right),\)\(\left( {x;y} \right)=\left( {\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};1} \right) \).