Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)\\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{array} \right.\) có hai cặp nghiệm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) . Tính \({x_1} + {x_2}\) .

Đặt \(a = \sqrt[3]{x},b = \sqrt[3]{y}\) hệ đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)\\a + b = 6\end{array} \right.\).  

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = a + b\\P = ab\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) thì hệ đã cho trở thành.

\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {36 - 3P} \right) = 3P\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 8\end{array} \right. (TM).\)

Hay 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 6\\
a.b = 8
\end{array} \right. \Rightarrow a\left( {6 - a} \right) = 8 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 8 = 0\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow x = 8\\b = 4 \Rightarrow y = 64\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = 4 \Rightarrow x = 64\\b = 2 \Rightarrow y = 8\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {8;64} \right),\left( {64;8} \right)\)

Suy ra ${x_1} + {x_2} = 72.$