Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\)  kẻ đường cao \(AH.\) Biết \(AH = 4cm,\,\,\,\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{1}{4}.\) Tính chu vi tam giác \(ABC.\)

Ta có: \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow HC = 4HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)\( \Leftrightarrow {4^2} = 4B{H^2} \Leftrightarrow BH = 2\,\,\,\left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow CH = 8\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 2 + 8 = 10\,\,\,\left( {cm} \right)\,\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow A{B^2} = 2.10\)\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow 20 + A{C^2} = 100 \Leftrightarrow A{C^2} = 80\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {80}  = 4\sqrt 5 \,\,cm.\)

Vậy chu vi tam giác\(ABC\) là: \(4\sqrt 5  + 2\sqrt 5  + 10 = 6\sqrt 5  + 10\,\,cm.\)