Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?
Vì ba dây \(AB = BC = CD \)
\(\Rightarrow \) \(\overparen{AB}= \) \(\overparen{BC} = \) \(\overparen{DC}\)
Xét \(\left( O \right)\) có
\(\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD}- \) sđ \(\overparen{BC}\) )
\(\widehat {DKB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{BmD} - \) sđ \(\overparen{BnD}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} + \)sđ\(\overparen{BA} - 2\). sđ\(\overparen{BC}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} - \) sđ \(\overparen{BC}\) )\( = \widehat {BIC}\)
Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?
Vì ba dây \(AB = BC = CD \)
\(\Rightarrow \) \(\overparen{AB}= \) \(\overparen{BC} = \) \(\overparen{DC}\)
Xét \(\left( O \right)\) có
\(\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD}- \) sđ \(\overparen{BC}\) )
\(\widehat {DKB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{BmD} - \) sđ \(\overparen{BnD}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} + \)sđ\(\overparen{BA} - 2\). sđ\(\overparen{BC}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} - \) sđ \(\overparen{BC}\) )\( = \widehat {BIC}\)
Tam giác \(MCE\) là tam giác gì?
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MEC}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên
\(\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AD} + \) sđ \(\overparen{MC}\) )
Và \(\widehat {MCE} = \widehat {MCD} \)
\(= \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BD} + \) sđ \(\overparen{BM}\) )
mà cung \(MB = \) cung \(MC\)
và cung \(AD = \) cung \(BD\)
Từ đó \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE} \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\) .
Tam giác \(BMN\) là tam giác gì?
Xét \(\left( O \right)\) có đường thẳng \(AM\) cắt đường tròn tại \(I;K\) .
Khi đó
\(\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK} - \) sđ \(\overparen{BI}\) );
\(\widehat {CAK} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} - \) sđ \(\overparen{CI}\) )
Mà \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK} \)
\(\Rightarrow \) \(\dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK}- \) sđ \(\overparen{BI}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} - \) sđ \(\overparen{CI}\) )
Nên \( \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK} + \) sđ \(\overparen{CI}\) )
\(=\dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} + \) sđ \(\overparen{BI}\) )
Hay \(\widehat {BMN} = \widehat {BNM}\)
\(\Rightarrow \Delta BMN\) cân tại \(B\) .
Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?
Vì ba dây \(AB = BC = CD \)
\(\Rightarrow \) \(\overparen{AB}= \) \(\overparen{BC} = \) \(\overparen{DC}\)
Xét \(\left( O \right)\) có
\(\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD}- \) sđ \(\overparen{BC}\) )
\(\widehat {DKB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{BmD} - \) sđ \(\overparen{BnD}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} + \)sđ\(\overparen{BA} - 2\). sđ\(\overparen{BC}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} - \) sđ \(\overparen{BC}\) )\( = \widehat {BIC}\)
Cho hình vẽ dưới đây, góc \(BIC\) có số đo bằng
Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
\(\widehat {BIC} = \)$\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{BC} - \) sđ \(\overparen{AD}\) )
Cho hình vẽ dưới đây, góc \(DIE\) có số đo bằng
Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
\(\widehat {DIE} = \)$\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} + \) sđ \(\overparen{CnF}\) )
Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và \(C\) là điểm trên cung nhỏ \(AB\) (cung \(CB\) nhỏ hơn cung \(CA\) ). Tiếp tuyến tại \(C\) của nửa đường tròn cắt đường thẳng \(AB\) tại \(D\) . Biết tam giác \(ADC\) cân tại \(C\) . Tính góc \(ADC\) .
Xét nửa \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{BC}\) (góc nội tiếp chắn cung BC) và \(\widehat {CDA} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AC} - \) sđ \(\overparen{BC}\) ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Mà \(\Delta ADC\) cân tại \(C\) nên \(\widehat {DAC} = \widehat {CDA} \Leftrightarrow \) sđ \(\overparen{BC} = \) sđ \(\overparen{AC} - \) sđ \(\overparen{BC}\)
Suy ra sđ \(\overparen{AC} = 2\). sđ \(\overparen{BC}\)
Mà sđ \(\overparen{AC} + \) sđ \(\overparen{BC} = 180^\circ \) nên sđ \(\overparen{AC} = 120^\circ \) ; sđ\(\overparen{BC}= 60^\circ \)
Do đó $\widehat {ADC} = 30^\circ $.
Trên \(\left( O \right)\) lấy bốn điểm \(A,B,C,D\) theo thứ tự sao cho cung \(AB = \) cung \(BC = \) cung \(CD\) . Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\) , biết \(\widehat {BIC} = 70^\circ \) . Tính \(\widehat {ABD}\) .
Vì cung \(AB = \) cung \(BC = \) cung \(CD\) nên gọi số đo mỗi cung là $a$ độ. Ta có số đo cung \(AD\) là \(360^\circ - 3a\)
Vì \(\widehat {BIC}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên
$\widehat {BIC} = \dfrac{{a + 360^\circ - 3a}}{2} = 70^\circ \Rightarrow a = 110^\circ \Rightarrow $ số đo cung \(AD\) là $360^\circ - 3.110^\circ = 30^\circ $
\(\widehat {ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD\) nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ \) .
Cho \(\left( {O;R} \right)\) và dây \(AB\) bất kỳ. Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB\) , \(E;F\) là hai điểm bất kỳ trên dây \(AB\) . Gọi \(C,D\) lần lượt là giao điểm của \(ME;MF\) với \(\left( O \right)\) . Khi đó \(\widehat {EFD} + \widehat {ECD}\) bằng
Ta có \(\widehat {EFD}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên
\(\widehat {EFD} = \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\overparen{MnA} +\) sđ \(\overparen{BmD}\) )
Và \(\widehat {ECD} = \widehat {MCD} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{MnD}\)
Từ đó \(\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{MnA} + \) sđ \(\overparen{BmD}\)$ + $ sđ \(\overparen{MnD}\))
Mà cung \(AnM = \) cung \(MB\) nên \(\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{MB} + \) sđ \(\overparen{BmD}\)$ + $ sđ \(\overparen{MnA} + \)sđ \(\overparen{AD}\) ) =$\dfrac{1}{2}.360^\circ = 180^\circ $.
Cho \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB,CD\) vuông góc với nhau. Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\) . Dây \(AM\) cắt \(OC\) tại \(E\) , dây \(CM\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N\) .
Tam giác \(MCE\) là tam giác gì?
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MEC}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên
\(\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AD} + \) sđ \(\overparen{MC}\) )
Và \(\widehat {MCE} = \widehat {MCD} \)
\(= \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BD} + \) sđ \(\overparen{BM}\) )
mà cung \(MB = \) cung \(MC\)
và cung \(AD = \) cung \(BD\)
Từ đó \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE} \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\) .
Cho \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB,CD\) vuông góc với nhau. Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\) . Dây \(AM\) cắt \(OC\) tại \(E\) , dây \(CM\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N\) .
Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {CNA}\) là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên
\(\widehat {CNB} = \dfrac{1}{2}\) $ (sđ \overparen{AC}-sđ \overparen{MB})$
Mà sđ $\overparen{MB}$\( = \dfrac{1}{2}\) sđ $\overparen{AC}$ nên \(\widehat {CNA} = \dfrac{1}{2}\)sđ $\overparen{MB}$
Lại có \(\widehat {MCB} = \dfrac{1}{2}\) sđ $\overparen{MB}$ (góc nội tiếp) nên \(\widehat {MCB} = \widehat {BNC} \Rightarrow \Delta BNC\) cân tại \(B \Rightarrow BN = BC\) .
Cho \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB,CD\) vuông góc với nhau. Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\) . Dây \(AM\) cắt \(OC\) tại \(E\) , dây \(CM\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N\) .
Tính diện tích tam giác \(CBN\) theo \(R\)
Xét \(\Delta COB\) vuông cân tại \(O\) ta có
\(BC = \sqrt {O{C^2} + O{B^2}} = R\sqrt 2 \)
nên \(BN = R\sqrt 2 \)
Khi đó \({S_{BNC}} = \dfrac{1}{2}NB.CO = \dfrac{{{R^2}\sqrt 2 }}{2}\) .
Từ \(A\) ở ngoài \(\left( O \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) và cát tuyến \(ACD\) . Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt \(BC,BD\) lần lượt tại \(M,N\) . Vẽ dây \(BF\) vuông góc với \(MN\) tại \(H\) và cắt \(CD\) tại \(E\) .
Tam giác \(BMN\) là tam giác gì?
Xét \(\left( O \right)\) có đường thẳng \(AM\) cắt đường tròn tại \(I;K\) .
Khi đó
\(\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK} - \) sđ \(\overparen{BI}\) );
\(\widehat {CAK} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} - \) sđ \(\overparen{CI}\) )
Mà \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK} \)
\(\Rightarrow \) \(\dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK}- \) sđ \(\overparen{BI}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} - \) sđ \(\overparen{CI}\) )
Nên \( \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BK} + \) sđ \(\overparen{CI}\) )
\(=\dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{DK} + \) sđ \(\overparen{BI}\) )
Hay \(\widehat {BMN} = \widehat {BNM}\)
\(\Rightarrow \Delta BMN\) cân tại \(B\) .
Từ \(A\) ở ngoài \(\left( O \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) và cát tuyến \(ACD\) . Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt \(BC,BD\) lần lượt tại \(M,N\) . Vẽ dây \(BF\) vuông góc với \(MN\) tại \(H\) và cắt \(CD\) tại \(E\) .
Tích $FE.FB$ bằng
Vì tam giác \(BMN\) cân tại \(B\) có \(BH\) là đường cao nên \(BH\) cũng là đường phân giác.
\( \Rightarrow \widehat {CBF} = \widehat {DBF}\)
\(\Rightarrow \) cung $CF = $ cung \(DF\)
\( \Rightarrow \widehat {DBF} = \widehat {CDF}\) (hệ quả góc nội tiếp)
\( \Rightarrow \Delta FED\backsim\Delta FDB\left( {g - g} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FB}} \Rightarrow FE.FB = F{D^2}\) .
Trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \(AB = BC = CD\), mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \(R\). Các đường thẳng \(AB,CD\) cắt nhau tại \(I\), các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(D\) cắt nhau tại \(K\) .
Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?
Vì ba dây \(AB = BC = CD \)
\(\Rightarrow \) \(\overparen{AB}= \) \(\overparen{BC} = \) \(\overparen{DC}\)
Xét \(\left( O \right)\) có
\(\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD}- \) sđ \(\overparen{BC}\) )
\(\widehat {DKB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{BmD} - \) sđ \(\overparen{BnD}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} + \)sđ\(\overparen{BA} - 2\). sđ\(\overparen{BC}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AmD} - \) sđ \(\overparen{BC}\) )\( = \widehat {BIC}\)
Trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \(AB = BC = CD\), mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \(R\). Các đường thẳng \(AB,CD\) cắt nhau tại \(I\), các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(D\) cắt nhau tại \(K\) .
$BC$ là tia phân giác của góc nào dưới đây?
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {KBC} = \widehat {CDB}\) (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Lại có \(\widehat {CDB} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Nên \(\widehat {CBD} = \widehat {KBC} \Rightarrow BC\) là tia phân giác góc \(KBD\) .
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \(\left( O \right)\) . Các tiếp tuyến tại \(B,C\) của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\). Biết \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BMC}\). Tính \(\widehat {BAC}\) .
Xét \(\left( O \right)\) có
\(\widehat {BMC} \) \(= \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{BmC} - \) sđ \(\overparen{BnC}\) ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Và \(\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{BnC}\)
Mà \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BMC}\) nên
(sđ \(\overparen{BmC} - \) sđ \(\overparen{BnC}\) )\( = \dfrac{1}{2}\) sđ \( \overparen{BnC}\)
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{BmC} = \) \(\dfrac{3}{2}\). sđ \(\overparen{BnC}\)
mà sđ \(\overparen{BmC} + \) sđ \(\overparen{BnC}\)$ = 360^\circ $
Nên sđ \(\overparen{BnC}=\) \(\dfrac{{2.360^\circ }}{5} = 144^\circ \) , do đó \(\widehat {BAC} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 72^\circ \) .
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một dây \(AB\) . Vẽ đường kính \(CD \bot AB\) (\(D\) thuộc cung nhỏ \(AB\) ). Trên cung nhỏ \(BC\) lấy điểm \(M\) . Các đường thẳng \(CM,DM\) cắt đường thẳng \(AB\) lần lượt tại \(E\) và \(F\) . Tiếp tuyến của đường tròn tại \(M\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N\). Hai đoạn thẳng nào dưới đây không bằng nhau?
Xét \(\left( O \right)\) có $D$ là điểm chính giữa cung \(AB\) (Vì đường kính \(CD \bot AB\) nên đi qua điểm chính giữa cung \(AB\) )
\(\widehat {NMD} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{DM}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\widehat {MEN} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{MB} + \) sđ \(\overparen{AD}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{MB} + \) sđ \(\overparen{BD}\) )
\( = \widehat {NMD}\)
Suy ra \(\Delta MNE\) cân tại \(N \Rightarrow NE = NM\) (*).
Lại có
\(\widehat {NFM} = \widehat {NMF}\)
(vì \(\widehat {NFM} + \widehat {FEM} = 90^\circ \)
\(= \widehat {NMF} + \widehat {NME}\) và \(\widehat {NME} = \widehat {NEM}\) )
Nên \(\Delta NMF\) cân tại \(N \Rightarrow NF = NM\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(NE = NF = NM\) .
Cho \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB,CD\) vuông góc với nhau. Trên đường kính \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = R\sqrt 2 \). Vẽ dây \(CF\) đi qua \(E\) . Tiếp tuyến của đường tròn tại \(F\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(M\) , dây \(AF\) cắt \(CD\) tại \(N\). Chọn khẳng định sai.
Xét \(\Delta AOC\) vuông cân tại \(O\) có \(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = R\sqrt 2 \)
\(\Rightarrow AC = AE\) nên \(\Delta AEC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat {ACE} = \widehat {AEC}\)
Hay \(\dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AD} + \) sđ \(\overparen{DF}\) )
\( = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AC}+ \) sđ \(\overparen{BF}\) )
mà \(\overparen{AD} = \) \(\overparen{AC}\) nên \(\overparen{DF}\) \( = \) \(\overparen{BF}\) .
Ta có \(\widehat {ACD} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{AD}\) ;
\(\widehat {FMC} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{FC} - \) sđ \(\overparen{DF}\) )
mà \(\overparen{DF}\) \( = \) \(\overparen{BF}\) .
Nên \(\widehat {FMC} = \dfrac{1}{2}\)sđ \(\overparen{BC}= \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{AD}\)\( = \widehat {ACD}\)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(AC{\rm{//}}MF\).
Xét tam giác \(CAB\) có \(CO\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(\Delta ACB\) cân tại \(C\) .
Phương án A, B, C đúng.
