Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3\\4x + my = 6\end{array} \right.\) ($m$ là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 1\end{array} \right.$

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3\\4x + my = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\4x + m\left( {3 - mx} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\4x + 3m - {m^2}x = 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\\left( {4 - {m^2}} \right)x = 6 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3\left( {m - 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$ $\left( * \right)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{m + 2}}\\y = 3 - \dfrac{3m}{{m + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ 6}}{{m + 2}}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{m + 2}} > 0\\\dfrac{{ 6}}{{m + 2}} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\\dfrac{{4-m }}{{m + 2}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 2\\4-m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 2\\m <  4\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow -2<m<4\)

Kết hợp với $\left( * \right)$ ta được giá trị $m$ cần tìm là $-2<m<4;m \ne 2$.