Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\2x - y = m + 5\end{array} \right.\). Tìm $m$ để có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ sao cho biểu thức \(S = {x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\2x - y = m + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m - 1} \right)x - m\left( {2x - m - 5} \right) = 3m - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m - 1} \right)x - 2mx + {m^2} + 5m = 3m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\ - \left( {m + 1} \right)x =  - {m^2} - 5m + 3m - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m + 1} \right)x = {m^2} + 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {m + 1} \right)x = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay \(m \ne  - 1\).

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra \(x = \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{m + 1}} = m + 1\), thay \(x = m + 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(y = 2\left( {m + 1} \right) - m - 5 = m - 3.\)

Vậy với \(m \ne  - 1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {m + 1;m - 3} \right)\)

Ta xét \(S = {x^2} + {y^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} = {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 6m + 9\)

\( = 2{m^2} - 4m + 10 = 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8 = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 8\)

Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall m \Rightarrow 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 8 \ge 8;\,\forall m\)

Hay \(S \ge 8;\,\forall m\). Dấu “=” xảy ra khi \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} \right)\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.