Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến làm cùng tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi ngưới thứ hai làm một mình thì trong bao lâu xong việc.
Gọi thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong việc là x ngày, thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là y ngày ($x,y > 4$).
Trong 1 ngày người thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$(công việc); người thứ 2 làm được $\dfrac{1}{y}$(công việc).
Vì 2 người cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên trong 1 ngày cả 2 người làm được $\dfrac{1}{4}$công việc nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến làm cùng tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc nên ta có phương trình: $9.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{ \Leftrightarrow 10.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{4}}\\10{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}= 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\\9.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\\dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 6\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy thời gian người thứ hai làm 1 mình xong việc là 6 ngày.
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) h sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong 9h rồi mở thêm cả vòi 2 thì sau \(\dfrac{6}{5}\) h nữa thì đầy bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > \(\dfrac{{24}}{5}\) ).
Hai vòi cùng chảy thì sau \(4\dfrac{4}{5} = \dfrac{{24}}{5}\) h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Nếu mở vòi 1 chảy trong 9h rồi mở thêm cả vòi 2 thì sau \(\dfrac{6}{5}\) h nữa thì đầy bể nên ta có phương trình
$9.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\9.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\9.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{5}{{24}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\9.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\\dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 8 h.
Hai công nhân cùng làm 1 công việc. Nếu hai người cùng làm thì sau \(3h45\) phút xong công việc . Hỏi nếu người thứ nhất làm một mình thì sau bao lâu xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình lâu hơn người thứ nhất là 4 giờ.
Đổi \(3h45\)phút \( = \dfrac{{15}}{4}h\)
Gọi thời gian người thứ 1 làm một mình xong công việc là: x (giờ); ($x > \dfrac{{15}}{4}$)
Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: y (giờ); $y > \dfrac{{15}}{4}$)
1 giờ người thứ nhất làm là \(\dfrac{1}{x}\)công việc.
1 giờ người thứ hai làm là \(\dfrac{1}{y}\)công việc.
Nếu hai người cùng làm thì sau \(3h45\)phút\( = \dfrac{{15}}{4}h\) xong công việc nên ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{{15}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\)
Vì người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình lâu hơn người thứ nhất là 4 giờ nên ta có : y – x =4 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{{15}}\\y - x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 4\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} = \dfrac{4}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 4\\15\left( {x + 4} \right) + 15x = 4x\left( {x + 4} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 4\\4{x^2} - 14x - 60 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 4\\\left[ \begin{array}{l}x = 6\,\,(tmdk)\\x = - \dfrac{5}{3}\,\,(ktmdk)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 10\\x = 6\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}$
Vậy người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 6 (giờ).
Một hình chữ nhật có chu vi $50m$. Nếu tăng chiều rộng thêm $2m$ và giảm chiều dài $5m$ thì diện tích tăng $5{m^2}$. Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:
Gọi $x{\rm{ }}\left( m \right)$ là chiều rộng của hình chữ nhật $\left( {0 < x < 25} \right)$
Nữa chu vi hình chữ nhật là: $50:2 = 25m$
Chiều dài của hình chữ nhật là : $25-x{\rm{ }}\left( m \right)$
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $x\left( {25-x} \right) = 25x-{x^2}$
Chiều rộng sau khi thêm $2m$ là: $x + 2\left( m \right)$
Chiều dài sau khi giảm $5cm$ là : $25-x-5 = 20-x\,\left( m \right)$
Diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi kích thước là:
$\left( {x + 2} \right)\left( {20-x} \right) = 40 + 18x-{x^2}$
Diện tích hình chữ nhật tăng $5{m^2}$ nên ta có phương trình :
$\begin{array}{l}\left( {40 + 18x-{x^2}} \right)-\left( {25x-{x^2}} \right) = 5\\ \Leftrightarrow 40 + 18x-{x^2}\;-25x + {x^2}\; = 5\\ \Leftrightarrow 9x = 45\\ \Leftrightarrow x = 5\left( {tm} \right)\end{array}$
Chiều rộng của hình chữ nhật là : $5m$
Chiều dài của hình chữ nhật là : $25 - 5 = 20m$
Với giá trị nào của \(m\) thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + m(2m - mx) = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + 2{m^2} - {m^2}x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x({m^2} - 1) = 2{m^2} - m - 1\end{array} \right.\)
Xét: \({m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Nếu \(m = 1\) ta được: \(0x = 0\) (đúng với \(\forall x\))\( \Rightarrow \) hệ phương trình có vô số nghiệm.
Nếu \(m = - 1\) ta được: \(0x = 2\) (vô lý) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích $150{m^2}$. Tính chiều cao của thửa ruộng đó biết cạnh đáy lớn hơn 6m và nếu tăng cạnh đáy thêm $3m$ và tăng chiều cao tương ứng thêm $5m$ thì diện tích thửa ruộng tăng \(97,5{m^2}.\)
Gọi cạnh đáy của thửa ruộng là $x\left( m \right){\rm{ }}\left( {x > 6} \right)$ và chiều cao thửa ruộng là \(y\left( m \right)\left( {y > 0} \right)\)
Diện tích thửa ruộng là \(150{m^2}\) nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}xy = 150 \Leftrightarrow xy = 300\,\left( 1 \right)\)
Vì khi tăng cạnh đáy thêm $3m$ và chiều cao tăng $5m$ thì diện tích thửa ruộng tăng \(97,5{m^2}\)
nên ta có phương trình : \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 97,5 \Leftrightarrow 5x + 3y = 180\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 300\\5x + 3y = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{180 - 5x}}{3}\\x.\dfrac{{180 - 5x}}{3} = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{180 - 5x}}{3}\\ - 5{x^2} + 180x - 900 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{180 - 5x}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 30\left( N \right)\\x = 6\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 10\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy chiều cao của thửa ruộng là $10m$.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} + x = 7y\\\dfrac{{{x^2}}}{y} + x = 12\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm ?
+) Xét \(y \ne 0\) chia các vế phương trình trên cho y,ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{x}{y} = 4\\\dfrac{x}{y}\left( {x + y} \right) = 12\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\\dfrac{x}{y} = v\end{array} \right.\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 7\\uv = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\u\left( {7 - u} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} - 7u + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} - 3u - 4u + 12 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\u\left( {u - 3} \right) - 4\left( {u - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\\left( {u - 4} \right)\left( {u - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\\left[ \begin{array}{l}u = 3\\u = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
+ Với \(u = 3 \Rightarrow v = 4\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\\dfrac{x}{y} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x = 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\y = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
+ Với \(u = 4 \Rightarrow v = 3\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\\dfrac{x}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\x = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm \(\left( {3;1} \right);\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\)
Cặp số \((x;y) = (1;3)\) là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong các hệ phương trình sau:
Hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai là hệ phương trình ở đáp án D nên loại D.
+ Với hệ phương trình A:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = - 2\\
x + y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 3 = - 2\\
1 + 3 = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 = - 2\\
4 = 4
\end{array} \right.\) (luôn đúng) nên $(1;3)$ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = - 2\\
x + y = 4
\end{array} \right.\)
+ Với hệ phương trình B: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\{x} + y = 4\end{array} \right.\)
Thay $x=1;y=3$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2.1- 3 = 0\\{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}-1 = 0\\{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B.
+ Với hệ phương trình C: \(\left\{ \begin{array}{l}{x} + y = 4\\2x + y = 4\end{array} \right.\)
Thay $x=1;y=3$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1+3 = 4\\2.{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\5 = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C.
Với \(m = 1\) thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.\) có cặp nghiệm \((x;y)\) là:
Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 4\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\8x + 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\11x = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{3x + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{2}y = m + 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) nhận \((3;1)\) là nghiệm:
Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) thỏa mãn: \(x - y = 2\) nên ta thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào phương trình $\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{2}y = m + 1$ ta được:
\(\dfrac{{12}}{5} + \dfrac{1}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{19}}{{10}}\).
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)$
Giải hệ phương trình (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\1 + 2y + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (2).
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 2\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
Hệ phương trình nào trong các phương trình sau là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a^{'}x + b^{'}y = c^{'}\end{array} \right.\)
Đáp án A: Bậc x là bậc 2 nên loại
Đáp án B: Xuất hiện 3 ẩn là x, y, z nên loại
Đáp án C: Chuyển thành hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5\\x - y = 0\end{array} \right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Đáp án D: Xuất hiện 3 phương trình với 3 ẩn x, y, z nên loại.
Tìm \(m \ne 2\) để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + 4my = 1\\x - 2y = \dfrac{1}{{2 - m}}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{1} = \dfrac{{4m}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2 - m}}}} \Leftrightarrow {m^2} = - 2m = 2 - m\).
(với \(m \ne 2\))\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = - 2m\\ - 2m = 2 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\\m = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\).
Nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{{x + 2y}} + \dfrac{1}{{2x + y}} = 3\\
\dfrac{4}{{x + 2y}} + \dfrac{3}{{2x + y}} = 1
\end{array} \right.$ là:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ne 0\\y + 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2y\\y \ne - 2x\end{array} \right.\)
Đặt: \(\dfrac{1}{{x + 2y}} = u;\,\,\dfrac{1}{{2x + y}} = v\,\,\,\,\left( {u;\,\,v \ne 0} \right).\)
Khi đó, ta có hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = 3\\4u + 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - 2u\\4u + 3\left( {3 - 2u} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - 2u\\u = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = - 5\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 2y}} = 4\\\dfrac{1}{{2x + y}} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8y = 1\\ - 10x - 5y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{13}}{{60}}\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{7}{{30}}\left( {tm} \right)\end{array}\right.\)
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\left| y \right| = b \ge 0\).
Khi đó, ta có hệ phương trình: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 18\\3a + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\3\left( {18 - 4b} \right) + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 2\\\left| y \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = \pm 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của \(m\) thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + m(2m - mx) = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + 2{m^2} - {m^2}x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x({m^2} - 1) = 2{m^2} - m - 1\end{array} \right.\)
Xét: \({m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Nếu \(m = 1\) ta được: \(0x = 0\) (đúng với \(\forall x\))\( \Rightarrow \) hệ phương trình có vô số nghiệm.
Nếu \(m = - 1\) ta được: \(0x = 2\) (vô lý) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $150{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ gấp đôi vận tốc của $B.$
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$
Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $2h$ nên ta có phương trình: $2x + 2y = 150\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$.
Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ gấp đôi vận tốc của $B$ nên ta có: $x + 5 = 2(y - 5)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\x + 5 = 2(y - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\x - 2y = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\2x - 4y = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 30\end{array} \right.(tmdk)$
Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $45km/h$ và $30km/h.$
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m(1 - my) - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y({m^2} + 1) = 2m\end{array} \right.\)
Do: \({m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} \Rightarrow x = 1 - my = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\)
Xét: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{{4{m^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} + \dfrac{{{{(1 - {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{{(1 + {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1\)
Vậy \({x^2} + {y^2} = 1\) không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right.\) có nghiệm nguyên duy nhất
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right. \Rightarrow x + mx = 2 + m \Rightarrow x(m + 1) = m + 2\)
Nếu \(m = - 1 \Rightarrow 0x = 1\) (vô lí).
Nếu \(m \ne - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{m + 1}}\)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất \( \Rightarrow x\) nguyên
\( \Rightarrow m + 1 = \pm 1\) \( \Rightarrow m = 0;m = - 2\).
Với \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Với \(m = - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
