Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} + x = 7y\\\dfrac{{{x^2}}}{y} + x = 12\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?

+) Xét $y \ne 0$ chia các vế phương trình trên cho y,ta được hệ  $\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{x}{y} = 4\\\dfrac{x}{y}\left( {x + y} \right) = 12\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\\dfrac{x}{y} = v\end{array} \right.$  ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}u + v = 7\\uv = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\u\left( {7 - u} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} - 7u + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} - 3u - 4u + 12 = 0\end{array} \right.$     

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\u\left( {u - 3} \right) - 4\left( {u - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\\left( {u - 4} \right)\left( {u - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\\left[ \begin{array}{l}u = 3\\u = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$

+ Với $u = 3 \Rightarrow v = 4$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\\dfrac{x}{y} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x = 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\y = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

+   Với $u = 4 \Rightarrow v = 3$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\\dfrac{x}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\x = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm $\left( {3;1} \right);\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$