Giá trị của $a$ để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1\\{\rm{ - ax}} + y = a\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y < 1\end{array} \right.\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1\\ - ax + y = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\ - a(1 - ay) + y = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\y({a^2} + 1) = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2} + 1}}\\y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn: \(x < 1;y < 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2} + 1}} < 1\\\dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {a^2} < {a^2} + 1\\2a < {a^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} > 0\\(a - 1){}^2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne 1\end{array} \right.\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\).
$\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x + (m + 1)(4x + 2) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x + 4x(m + 1) + 2(m + 1) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x(4m + 5) = - (2m + 1)\end{array} \right.$
Nếu \(m = - \dfrac{5}{4} \Rightarrow 0x = \dfrac{3}{2}\) (vô lí).
Nếu \(m \ne - \dfrac{5}{4} \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2m - 1}}{{4m + 5}} \Rightarrow y = 4x + 2 = \dfrac{6}{{4m + 5}}\).
Theo bài ra: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{{4m + 5}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{6}{{4m + 5}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\) \(\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} + 4m + 1 + 36} \right) = 16{m^2} + 40m + 25\)
\( \Leftrightarrow 24m = 123 \Leftrightarrow m = \dfrac{{41}}{8}\).
Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm $3$ km/h thì thời gian rút ngắn được $2h.$ Nếu ca nô giảm vận tốc đi $3$ km/h thì thời gian tăng $3h.$ Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô.
Gọi vận tốc dự định của ca nô là $x$ (km/h, $x > 3$).
Thời gian dự định đi từ A đến B là $y$ $(h, y > 0).$
Quãng đường AB là: $xy$ (km)
Nếu ca nô tăng vận tốc thêm $3$ km/h thì thời gian rút ngắn được $2h$ nên ta có phương trình:
$(x + 3)(y - 2) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$
Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3h nên ta có phương trình:
$(x - 3)(y + 3) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)(y - 2) = xy\\(x - 3)(y + 3) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15(tmdk)\\y = 12(tmdk)\end{array} \right.$
Vậy vận tốc dự định của ca nô là $15$ km/h và thời gian dự định đi từ A đến B là $12h.$
Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc $45$ km/h sẽ tới B chậm nửa giờ. Nếu đi với vận tốc $60$ km/h sẽ tới B sớm $45$ phút. Tính quãng đường $AB.$
Ta có: 45’ $ = \dfrac{{45}}{{60}} = \dfrac{3}{4}h$.
Gọi quãng đường AB là $x \,\,(km, x > 0) $và thời gian dự định là $y $ \(\left( {h;\,\,y > \dfrac{1}{2}} \right).\)
Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ nên ta có phương trình: $x = 45\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$
Nếu đi với vận tốc $60$ km/h sẽ tới B sớm $45’$ nên ta có: $x = 60\left( {y - \dfrac{3}{4}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x = 45\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\\x = 60\left( {y - \dfrac{3}{4}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 45y = \dfrac{{45}}{2}\\x - 60y = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 225(tmdk)\\y = 4,5(tmdk)\end{array} \right.$
Vậy quãng đường AB là $225km.$
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được $1200$ sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức $30\% $ và tổ II bị giảm năng suất $22\% $ so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được $1300$ sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$ (sản phẩm);
số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,y \in {N^*}} ;\,x;y<1200\right)$.
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được $900$ sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được \((x+x.30\)%) sản phầm và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên tổ 2 sản xuất được \((y-y.22\)%) sản phẩm,
Do đó 2 tổ đã sản xuất được $1300$ sản phẩm, nên ta có phương trình: $x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y - \dfrac{{22}}{{100}}y = 1300 $$\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{78}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 936\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{52}}{{100}}x = 364\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\y = 500\end{array} \right.$(tmdk)
Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được \(500.78:100 = 390\) sản phẩm.
Hai trường có tất cả $300$ học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có $207$ học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là $x$ (học sinh) $(x \in N^*,x < 300)$;
số học sinh của trường thứ 2 dự thi là $y $ (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 300)$.
Hai trường có tất cả $300$ học sinh tham gia 1 cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Trường A có $75$% học sinh đạt, trường 2 có $60$% đạt nên cả 2 trường có $207$ học sinh đạt, ta có: $\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 180\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{100}}x = 27\\x + y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 180\\y = 120\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là $180$ học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là $120$ học sinh.
Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được $25$ tấn quặng chứa 66% sắt.
Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $x$ tấn,
Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là $y$ tấn $(x,y > 0)$.
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\75\% x + 50\% y = 66\% .25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 12,5\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,25x = 4\\x + y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 9\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $16$ tấn.
Hai đội xe được điều đi chở đất. Nếu cả 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải tiếp tục làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm 1 mình thì trong bao lâu xong việc.
Gọi thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là x ngày, thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là y ngày ($x,y > 12$).
Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc); đội thứ 2 làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc).
Vì 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc nên trong 1 ngày cả 2 đội làm được $\dfrac{1}{{12}}$ công việc nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc nên ta có phương trình: $8\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 7.\dfrac{1}{x} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\8\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{7}{x} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\8.\dfrac{1}{{12}} + \dfrac{7}{x} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{7}{x} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\x = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21\\y = 28\end{array}(tmđk) \right.$.
Vậy thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là 21 ngày.
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau $1,5h$ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong $0,25h$ rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong $1/3$ h thì được $1/5$ bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5).
Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong 1/3 h thì được 1/5 bể nên ta có:
$\dfrac{{0,25}}{x} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{2}{9}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12x}} = \dfrac{1}{{45}}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x = 45\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15}}{4} = 3,75\\y = \dfrac{5}{2} = 2,5\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 2,5 h.
Hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân thứ nhất làm được $1,5$ ngày thì công nhân thứ 2 đến làm cùng và sau $5,5$ ngày nữa là xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là $3$ ngày. Hỏi nếu làm một mình thì thời gian làm xong công việc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là:
Gọi thời gian người thứ 1 làm một mình xong công việc là: $x$ (ngày); ($x > 5,5$)
Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: $y$ (ngày); ($y > 5,5$)
1 ngày người thứ nhất làm là \(\dfrac{1}{x}\) công việc.
1 ngày người thứ hai làm là \(\dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo bài ra: người thứ nhất làm trong $7$ ngày, người thứ 2 làm trong $5,5$ ngày thì xong công việc nên ta có:
\(\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\).
Vì làm một mình người thứ nhất lâu hơn người thứ hai là 3 ngày nên ta có: x – y =3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\\x - y = 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\dfrac{7}{{y + 3}} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\7y + 5,5y + 16,5 = {y^2} + 3y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\{y^2} - 9,5y - 16,5 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 11\,\,(tmdk)\\y = - 1,5\,\,(ktmdk)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11\\x = 14\end{array} \right.\end{array}$
Vậy người thứ hai làm xong công việc một mình trong $11$ (ngày); người thứ nhất làm xong công việc một mình trong $14$ (ngày).
Một hình chữ nhật có chu vi $300cm$. Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Gọi: $x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$ là chiều rộng của hình chữ nhật $\left( {0 < x < 150} \right)$.
Nữa chu vi hình chữ nhật là: $300:2 = 150cm$.
Chiều dài của hình chữ nhật là: $150-x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $x\left( {150-x} \right) = 150x-{x^2}$.
Chiều rộng sau khi thêm $5cm$ là: $x + 5$.
Chiều dài sau khi giảm $5cm$ là: $150-x-5 = 145-x$.
Diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi kích thước là:
$\left( {x + 5} \right)\left( {145-x} \right) = 725 + 140x-{x^2}$.
Diện tích hình chữ nhật tăng $275c{m^2}$ nên ta có phương trình :
$\begin{array}{l}\left( {725 + 140x-{x^2}} \right)-\left( {150x-{x^2}} \right) = 275\\ \Leftrightarrow 725 + 140x-{x^2}\;-150x + {x^2}\; = 275\\ \Leftrightarrow 10x = 450\end{array}$.
$ \Leftrightarrow x = 45$ (tmdk).
Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là: $45cm$.
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là: $150-45 = 105cm$.
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180{m^2}$. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó biết nếu tăng cạnh đáy thêm $4m$ và giảm chiều cao tương ứng đi $1m$ thì diện tích thửa ruộng không đổi.
Gọi: cạnh đáy của thửa ruộng là $x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$.
Suy ra: chiều cao của thửa ruộng là $\dfrac{{2.180}}{x} = \dfrac{{360}}{x}$ (m).
Vì khi tăng cạnh đáy thêm $4m$ và chiều cao giảm đi $1m$ thì diện tích thửa ruộng không thay đổi nên ta có phương trình:
$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}.(\dfrac{{360}}{x} - 1)(x + 4) = 180\\ \Leftrightarrow \left( {360 - x} \right)\left( {x + 4} \right) = 360x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x -1440= 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 36x + 40x - 1440 = 0 \\ \Leftrightarrow x\left( {x - 36} \right) + 40\left( {x - 36} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {x + 40} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36 (tmdk)\\x = - 40 (ktmdk)\end{array} \right.\end{array}$.
Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là $36m$.
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 1\\mx + 2y = 1\end{array} \right..\) Gọi \(M({x_0};{y_0})\) trong đó \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm duy nhất của hệ. Phương trình đường thẳng cố định mà \(M\) chạy trên đường thẳng đó là:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 1\\mx + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\2x + \dfrac{{m(1 - mx)}}{2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\(4 - {m^2})x = 2 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\(2 - m)(2 + m)x = 2 - m\end{array} \right.\)
Nếu \(m = 2 \Rightarrow 0x = 0\) hệ phương trình có vô số nghiệm.
Nếu \(m = - 2 \Rightarrow 0x = 4\) hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu \(m \ne \pm 2 \Rightarrow (2 + m)x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{{2 + m}} = > y = \dfrac{1}{{2 + m}} \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{{2 + m}};\dfrac{1}{{2 + m}}} \right)\).
Nhận thấy: \(M\) có tọa độ thỏa mãn tung độ $ = $ hoành độ.
\( \Rightarrow M\) nằm trên đường thẳng \((d):x = y\).
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 + y(y + x) = 4y\\({x^2} + 1)(y + x - 2) = y\end{array} \right.\) có nghiệm \((x;y)\) là:
+) Xét \(y = 0\) hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0\\({x^2} + 1)(x - 2) = 0\end{array} \right.\) (vô lí).
+) Xét \(y \ne 0\) chia các vế của từng phương trình cho y, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + y + x = 4\\\dfrac{{{x^2} + 1}}{y}(y + x - 2) = 1\end{array} \right.\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = a\\y + x - 2 = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\a(2 - a) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{a^2} - 2a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{(a - 1)^2} = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a = b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = 1\\y + x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + {x^2} + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\(x - 1)(x + 2) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\).
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x - {y^2} = - 1\\4{x^2} - 3xy + {y^2} = 1\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + y} \right)\left( {2x + 1 - y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 + y = 0\\2x + 1 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 2x - 1\\y = 2x + 1\end{array} \right..\)
TH1: Với \(y = - 2x - 1\) thay vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} = - 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6{x^2} + 3x + 4{x^2} + 4x + 1 = - 1\\ \Leftrightarrow 14{x^2} + 7x = 0\\ \Leftrightarrow 7x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 1\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\)
TH2: Với \(y = 2x + 1\) thay vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 6{x^2} - 3x + 4{x^2} + 4x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: \(\left( {0;1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).
