Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x - {y^2} =  - 1\\4{x^2} - 3xy + {y^2} = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + y} \right)\left( {2x + 1 - y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 + y = 0\\2x + 1 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 2x - 1\\y = 2x + 1\end{array} \right..\)

TH1: Với \(y =  - 2x - 1\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6{x^2} + 3x + 4{x^2} + 4x + 1 =  - 1\\ \Leftrightarrow 14{x^2} + 7x = 0\\ \Leftrightarrow 7x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

TH2: Với \(y = 2x + 1\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 6{x^2} - 3x + 4{x^2} + 4x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: \(\left( {0;1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).