Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 + y(y + x) = 4y\\({x^2} + 1)(y + x - 2) = y\end{array} \right.$ có nghiệm $(x;y)$ là:

+) Xét $y = 0$ hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0\\({x^2} + 1)(x - 2) = 0\end{array} \right.$  (vô lí).

+) Xét $y \ne 0$ chia các vế của từng phương trình cho y, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + y + x = 4\\\dfrac{{{x^2} + 1}}{y}(y + x - 2) = 1\end{array} \right.$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = a\\y + x - 2 = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\a(2 - a) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{a^2} - 2a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{(a - 1)^2} = 0\end{array} \right.$   

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a = b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = 1\\y + x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + {x^2} + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\(x - 1)(x + 2) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$.