Tìm giá trị của m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m - 1\end{array} \right.\) có nghiệm nguyên duy nhất

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{m + 1 - mx}}{2}\\2x + m.\dfrac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1\left( * \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 4x + m\left( {m + 1 - mx} \right) = 4m - 2 \Leftrightarrow 4x + {m^2} + m - {m^2}x = 4m - 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {4 - {m^2}} \right)x =  - {m^2} + 3m - 2 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x = {m^2} - 3m + 2\) (1)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\)

Khi đó \(x = \dfrac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{{m^2} - m - 2m + 2}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{m\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}}\)

Suy ra \(y = \dfrac{{m + 1 - mx}}{2} = \dfrac{{m + 1 - m.\dfrac{{m - 1}}{{m + 2}}}}{2} = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) - m\left( {m - 1} \right)}}{{2\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{{m^2} + 3m + 2 - {m^2} + m}}{2} = \dfrac{{4m + 2}}{2} = 2m + 1\)

Nhận thấy với \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow y = 2m + 1 \in \mathbb{Z}\) nên để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất \( \Rightarrow x\) nguyên hay \(x  = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}} = \dfrac{{m + 2 - 3}}{{m + 2}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 2}}\) là số nguyên

\( \Rightarrow m + 2 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) $ \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 1; - 5;1} \right\}\,\left( {TM} \right)$