Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 10 - m\\x + my = 4\end{array} \right..\)  Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn nằm trên đường thẳng cố định nào dưới đây?

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 10 - m\\x + my = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - my\\m.\left( {4 - my} \right) + 4y = 10 - m\left( * \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 4m - {m^2}y + 4y = 10 - m \Leftrightarrow y\left( {4 - {m^2}} \right) = 10 - 5m\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)

Khi đó \(y = \dfrac{{10 - 5m}}{{4 - {m^2}}} = \dfrac{{5\left( {2 - m} \right)}}{{\left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)}} = \dfrac{5}{{m + 2}}\)

Thay \(y = \dfrac{5}{{m + 2}}\) vào \(x = 4 - my = 4 - m.\dfrac{5}{{m + 2}} = \dfrac{{4m + 8 - 5m}}{{m + 2}} = \dfrac{{ - m + 8}}{{m + 2}}\) \( = \dfrac{{ - \left( {m + 2} \right) + 10}}{{m + 2}} =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}\)

Với \(m \ne  \pm 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{5}{{m + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}\\2y = \dfrac{{10}}{{m + 2}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x - 2y =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}} - \dfrac{{10}}{{m + 2}} \Leftrightarrow x - 2y =  - 1\)

Vậy \(M\left( {x;y} \right)\) luôn thuộc đường thẳng \(x - 2y =  - 1\) cố định.