Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

ĐK: $x \ne 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + 2y = 6\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{x} + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y =  - 1\end{array} \right.(TM)$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{x}{y} =  - \dfrac{1}{2}$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + y =  - 17\\40y = 280\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x =  4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {  4;7} \right)$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y =  - 3\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {31; - 3} \right)$.

$ \Rightarrow x > 0;y < 0$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ge 1;y \ge 0$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\
4\sqrt {x - 1} - 2\sqrt y = 8
\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\\7\sqrt {x - 1}  = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 3\\3.3 + 2\sqrt y  = 13\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 9\\
2\sqrt y = 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 10\\
y = 4
\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {10;4} \right)$.

Nên $x - y = 10 - 4 = 6.$

Thay $x = 3;y =  - 4$ vào hệ phương trình ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2a.3 + b\left( { - 4} \right) =  - 1\\b.3 - a.\left( { - 4} \right) = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 4b =  - 1\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12a - 8b =  - 2\\12a + 9b = 15\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17b = 17\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 7;y \ge 0$

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = b$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}7a - 4b = \dfrac{5}{3}\\5a + 3b = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\20a + 12b = \dfrac{{26}}{3}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\41a = \dfrac{{41}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\21.\dfrac{1}{3} - 12b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$

Trả lại biến ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  - 7 = 3\\\sqrt y  + 6 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {100;0} \right)$.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40x + 20 - 15y - 15 = 48x - 24y + 24\\6x - 9 - 4y + 16 =  - 24x + 24y - 24\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x - 9y =  - 19\\30x - 28y =  - 31\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}120x - 135y =  - 285\\120x - 112y =  - 124\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{2}\\y = 7\end{array} \right.$

Thay $x = \dfrac{{11}}{2};y = 7$ vào phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\) ta được

$6m.\dfrac{{11}}{2} - 5.7 = 2m - 66$

$\Leftrightarrow 31m = -31$ $\Leftrightarrow m = -1.$

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \Leftrightarrow  - 4a + b =  - 2\)  (1)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {2;1} \right) \Leftrightarrow 2a + b = 1\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b =  - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a =  - 3\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\2.\dfrac{1}{2} + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Để hai hệ phương trình tương đương thì \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) cũng là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.1 - 1 = 2\,\\a.1 + 2.1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thõa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - m - 1\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x + m - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta có: \(2y = 5x - 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2}x - 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{2}\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}\).

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\).

Đặt \(\dfrac{1}{{x + 1}} = t\), hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3t - 2y =  - 1}\\{5t + 3y = 11}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3t - 2y =  - 1}\\{5t + 3y = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9t - 6y =  - 3}\\{10t + 6y = 22}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19t = 19\\3t - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\3 - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\y = 2\end{array} \right.\).

Với \(t = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 - y = 0\\5x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\5x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 3y = 15\\5x + 3y = 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 33\\y = 2x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2.3 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)\).