Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(2\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\4x + 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3\left( { - 2} \right) = 6\\y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 2\\3x - 2y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y =  - 4\\9x - 6y =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x =  - 13\\2x + 3y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\)

$ \Rightarrow x - y =  - 1 - 0 =  - 1$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \)  rồi cộng từng vế của hai phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3  + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6  - y\sqrt 2  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 6  + y\sqrt 2  = 4\\x\sqrt 6  - y\sqrt 2  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 6  = 6\\x\sqrt 6  - y\sqrt 2  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 6  - y\sqrt 2  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\1 - y\sqrt 2  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\y\sqrt 2  =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\y =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

$ \Rightarrow 6x + 3\sqrt 3 y = 6.\dfrac{{\sqrt 6 }}{6} + 3\sqrt 3 .\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 6  - \dfrac{3}{2}\sqrt 6  =  - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.$

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(5\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0,3\sqrt x  + 0,5\sqrt y  = 3\\1,5\sqrt x  - 2\sqrt y  = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,5\sqrt x  + 2,5\sqrt y  = 15\\1,5\sqrt x  - 2\sqrt y  = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4,5\sqrt y  = 13,5\\1,5\sqrt x  - 2\sqrt y  = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 3\\1,5\sqrt x  - 2.3 = 1,5\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\1,5\sqrt x  = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\\sqrt x  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\x = 25\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {25;9} \right)\)

$ \Rightarrow xy = 25.9 = 225.$

ĐK: $y \ne 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + \dfrac{2}{y} = 4\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\\dfrac{5}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{5}{3}\\x + \dfrac{1}{{\dfrac{5}{3}}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{5}{3}} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{{5x}}{y} = \dfrac{{21}}{5}$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) - 3(x - y) = 4\\x + 4y = 2x - y + 5\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 3x + 3y = 4\\x + 4y - 2x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 5y = 4\\ - x + 5y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 1\\ - x + 5y = 5\end{array} \right.\left( {VL} \right)$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{3}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{2} + 1\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.$

Vậy  hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2;8} \right)$.

$ \Rightarrow x > 0;y > 0$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(2x + 4)(6 - y) = (11 - x)(2y + 6)\\3(x + 1)(y + 1) = (3x + 4)(y + 2)\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 2xy + 24 - 4y = 22y + 66 - 2xy - 6x\\3xy + 3x + 3y + 3 = 3xy + 6x + 4y + 8\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18x - 26y - 42 = 0\\ - 3x - y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x - 13y = 21\\3x + y =  - 5\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ge  - 3;y \ge  - 1$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {y + 1}  = 2\\2\sqrt {x + 3}  + \sqrt {y + 1}  = 4\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x + 3}  - 4\sqrt {y + 1}  = 4\\2\sqrt {x + 3}  + \sqrt {y + 1}  = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {y + 1}  = 2\\ - 5\sqrt {y + 1}  = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\\sqrt {x + 3}  - 2.\sqrt {\left( { - 1} \right) + 1}  = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\\sqrt {x + 3}  = 2\end{array} \right.$

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x + 3 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 1\end{array} (tm)\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)$.

Nên \(x + y = 1 + \left( { - 1} \right) = 0.\)

Thay $x = 2;y =  - 3$ vào hệ phương trình ta được

$\left\{ \begin{array}{l}4a.2 + 2b.\left( { - 3} \right) =  - 3\\3b.2 + a\left( { - 3} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 6b =  - 3\\ - 3a + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 5\\ - 3a + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3.1 + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\6b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{{11}}{6}\end{array} \right.$

Vậy $a = 1;b = \dfrac{{11}}{6}$

ĐK: \(x \ne 2;y \ne 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\2.\dfrac{1}{{x - 2}} - 3.\dfrac{1}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)

Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\dfrac{1}{{y - 1}} = v\,\,\left( {u;v \ne 0} \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + 2v = 4\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5v = 3\\u + v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u + \dfrac{3}{5} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\,\left( {TM} \right)\)

Thay lại cách đặt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{5}{7}\\y - 1 = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{8}{3}} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{4} - \dfrac{y}{2} = x + y + 1\\\dfrac{{x - 2}}{2} + \dfrac{{y - 1}}{3} = x + y - 1\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 - 2y = 4x + 4y + 4\\3x - 6 + 2y - 2 = 6x + 6y - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 6y =  - 3\\3x + 4y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = 0\end{array} \right.$

Thay $x = 0;y =  - \dfrac{1}{2}$ vào phương trình \(\left( {m + 2} \right)x + 7my = m - 225\) ta được

\(\left( {m + 2} \right).0 + 7m\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = m - 225 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}m = 225 \Leftrightarrow m = 50.\)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right) \Leftrightarrow \sqrt 3 a + b = 2\)  (1)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {0;2} \right) \Leftrightarrow 0.a + b = 2\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 a + b = 2\\0.a + b = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\\sqrt 3 .a + 2 = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 0;b = 2\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 7\\x + 2y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x + 2y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x + 2.\left( { - 3} \right) =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x - 6 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( {2; - 3} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

\( \Rightarrow {x_0} = 2,\,\,{y_0} =  - 3\).

Vậy \(S = {x_0} + {y_0} = 2 + \left( { - 3} \right) =  - 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 8\\x + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\x + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\7 + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 2} \right)\).

\(\left\{ \begin{align}  & (a-2)x+5by=25 \\ & 2ax-(b-2)y=5 \\\end{align} \right.\,\,\,(2)\)

Thay \(x=3,y=-1\) vào hệ (2) ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}(a - 2).3 + 5b.( - 1) = 25\\2a.3 - (b - 2).( - 1) = 5\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6 - 5b = 25\\6a + b - 2 = 5\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 5b = 31\\6a + b = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 62\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b - 6a - b = 62 - 7\\6a = 7 - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11b = 55\\6a = 7 - b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\6a = 7 - ( - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\6a = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\a = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(a=2,\,b=-5\) thì hệ (2) có nghiệm \((x,y)=(3,-1)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x\sqrt 2  + y\sqrt 6  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\\left( {\sqrt 6  + \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}\\x\sqrt 2  - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2  - 3 = 3\sqrt 2  - 2$.

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\4\sqrt x  + 2\sqrt y  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)