Cho phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình vô nghiệm

Phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\) có \(a = m;b' =  - 2\left( {m - 1} \right);c = 2\)

Suy ra \(\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.2 = 4{m^2} - 10m + 4\)

TH1: \(m = 0\) ta có phương trình \(4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}\)  nên loại \(m = 0.\)

TH2: \(m \ne 0\)

Để phương trình có vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4{m^2} - 10m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 5m + 2 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 4m - m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m\left( {m - 2} \right) - \left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m - 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 0\\m - 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\m > 2\end{array} \right.\left( {VL} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 2\)

Vậy \(\dfrac{1}{2} < m < 2\) là giá trị cần tìm.