Phương trình \((m - 3){x^2} - 2(3m + 1)x + 9m - 1 = 0\) có nghiệm khi
Phương trình \((m - 3){x^2} - 2(3m + 1)x + 9m - 1 = 0\) có \(a = m - 3;b' = - \left( {3m + 1} \right);c = 9m - 1\)
TH1: Nếu \(m - 3 = 0 \Rightarrow m = 3\) thì phương trình \((m - 3){x^2} - 2(3m + 1)x + 9m - 1 = 0\) trở thành \( - 2(3.3 + 1)x + 9.3 - 1 = 0\)\( \Rightarrow - 20x + 26 = 0\)\( \Rightarrow x = \dfrac{{13}}{{10}}\).
Vậy \(m = 3\) thì phương trình có nghiệm duy nhất nên ta nhận \(m=3\)
TH2: \(m \ne 3\) thì phương trình là phương trình bậc hai. Phương trình có nghiệm khi
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {( - (3m + 1))^2} - (m - 3)(9m - 1) \ge 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 6m + 1 - 9{m^2} + m + 27m - 3 \ge 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 34m - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{{17}}\end{array}\)
Vậy \(m \ge \dfrac{1}{{17}}\) thì phương trình có nghiệm
Trong trường hợp phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 5 = 0\) có \(a = 1;b' = - \left( {m - 2} \right);c = 2m - 5\)
Suy ra \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 1.\left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 6m + 9 = {\left( {m - 3} \right)^2} \)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0 \Leftrightarrow (m-3)^2>0\Leftrightarrow m\ne 3\)
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = m - 2 + \sqrt {(m-3)^2}=2m-5 \) ;
\({x_2} = m - 2 - \sqrt {(m-3)^2} =1\).
Cho phương trình \({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2} = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình \({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2} = 0\)
Có \(\Delta = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - 4{b^2}{c^2} = \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc} \right)\)\( = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}} \right] = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)\)
Mà \(a,b,c\) là ba cạnh của tam giác nên \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c > 0\\b + c - a > 0\\b - c - a < 0\\b + a - c > 0\end{array} \right.\)
Nên \(\Delta < 0\) với mọi \(a,b,c\)
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi \(a,b,c\).
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Nếu $\Delta ' = 0$ thì
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
Phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) có $a = 7;b' = - 6;c = 4$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.7 = 8 > 0$
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.
Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được: $2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4}$
Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.
Tính $\Delta '$ và tìm nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) .
Phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) có $a = 2;b' = \sqrt {11} ;c = 3$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 11 - 2.3 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$
${x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2} $.
Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m - 3$
Suy ra $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 3} \right)$
$= m + 1$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - 1\end{array} \right.$
Nên với đáp án $A$: $m=-\dfrac{5}{4}<-1$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm
Phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\) có $a = m - 3;b' = - m;c = m - 6$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18$
TH1: $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}$
TH2: $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$
Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2$
Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
Phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\) có $a = m - 2;b' = - \left( {m + 1} \right);c = m$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)m = 4m + 1$
TH1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$
TH2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$
Để phương trình có nghiệm kép thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{1}{4}$
Vậy $m = - \dfrac{1}{4}$ và $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có nghiệm
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m + 2$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m + 2} \right) = - 4m + 1$
TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$.
TH2: $m \ne 0$. Phương trình có nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 4m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Kết hợp cả hai trường hợp ta có với $m \le \dfrac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm.
Trong trường hợp phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a = - 1;b' = m;c = - {m^2} - m$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) = - m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $ - m > 0 \Leftrightarrow m < 0$
Khi đó ${x_1} = \dfrac{{ - m + \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m - \sqrt { - m} $ ; ${x_2} = \dfrac{{ - m - \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m + \sqrt { - m} $.
Cho phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)
Có $\Delta = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$
$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$
Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$
Nên $\Delta < 0$ với mọi $a,b,c$
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có \(a = 1;b' = - \left( {m + 5} \right);c = {m^2} + 3m - 6\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 6} \right)\)
\(\begin{array}{l} = {m^2} + 10m + 25 - {m^2} - 3m + 6\\ = 7m + 31\end{array}\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\7m + 31 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 7m > - 31 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 31}}{7}\)
Vậy với \(m > - \dfrac{{31}}{7}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Ta có : \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\g\left( x \right) = {x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g}' = {\left( {2m} \right)^2} + 4 > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 4 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\1 - 4m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne - \dfrac{3}{4}\).
Cho Parabol \((P):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \((d):y=mx-2m+1\). Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=mx-2m+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}-mx+2m-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4mx+8m-4=0\,\,(*)\)
(P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow {{(-2m)}^{2}}-(8m-4)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+4=0\Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=1\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): \(y=3mx-2\).Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)
Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\
\Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\).
Vậy với \(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình với \(m = 1\).
Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta'=2^2-3=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{-2-1}{1} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số).
Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
Phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4 - 2m - 1 = 3 - 2m\).
Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta = 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).
Vậy với \(m = \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệp kép.
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)
Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {y^2} = mxy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + 64 - 16x + {x^2} = 8mx - m{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\(m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \) phương trình \((m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\) \((I)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8(y \ne 0)\)
Nếu \(m=-2 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow 64=0\) (vô lí) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm với \(m = - 2\)
Nếu \(m \ne - 2 \Rightarrow (I)\) là phương trình bậc hai 1 ẩn,để phương trình này có nghiệm duy nhất thì \(\begin{array}{l}{\Delta'} = 0 \Leftrightarrow 16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4(m + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(m \ne - 2\) nên chỉ có \(m = 2\) là thỏa mãn để phương trình \((I)\) có nghiệm duy nhất
Nghiệm đó là \({x_0} = 4\) (thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8\))
Với \(x = 4\) thay vào ta tìm được \(y=4\)
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.
