Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất  \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)

Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {y^2} = mxy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + 64 - 16x + {x^2} = 8mx - m{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\(m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \) phương trình \((m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\) \((I)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8(y \ne 0)\)
Nếu \(m=-2 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow 64=0\) (vô lí) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm với \(m = - 2\)
Nếu \(m \ne - 2 \Rightarrow (I)\) là phương trình bậc hai 1 ẩn,để phương trình này có nghiệm duy nhất thì \(\begin{array}{l}{\Delta'} = 0 \Leftrightarrow 16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4(m + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(m \ne - 2\) nên chỉ có \(m = 2\) là thỏa mãn để phương trình \((I)\) có nghiệm duy nhất
Nghiệm đó là \({x_0} = 4\) (thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8\))
Với \(x = 4\) thay vào ta tìm được \(y=4\)
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.