Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình đã cho ta có: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khi \(m =  - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\).

Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right..\) 

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 1 + 2 = 3\\P = {x_1}{x_2} = 1.2 = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(S = 3,\,\,P = 2.\)

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có:  \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right)\) \( = 25 - 4m + 12 = 37 - 4m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\37 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 37 > 4m \Leftrightarrow m < \dfrac{{37}}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 5 \Rightarrow {x_2} = 5 - {x_1}\)

Ta có: \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow m - 3 = 5x - {x^2}\)

Mà \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) nên \(m - 3 = 5{x_1} - x_1^2\)

Ta có: \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 - 2.\left( {m - 3} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {5{x_1} - x_1^2} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 10{x_1} + 2x_1^2 + 15 - 3{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 - 13{x_1} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 - 6{x_1} - 7{x_1} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_1}\left( {{x_1} - 2} \right) - 7\left( {{x_1} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = 0\\3{x_1} - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_1} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_1} = 2 \Rightarrow m - 3 = 5.2 - {2^2} \Leftrightarrow m - 3 = 6 \Leftrightarrow m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \dfrac{7}{3} \Rightarrow m - 3 = 5.\dfrac{7}{3} - {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow m - 3 = \dfrac{{56}}{9} \Leftrightarrow m = \dfrac{{83}}{9}\)  (thỏa mãn)

Vậy \(m = 9;m = \dfrac{{83}}{9}\) là các giá trị cần tìm.

\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\).

Phương trình (1) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\).

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - 4m - 5\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} - 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} - 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} = 8085 - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt}  + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\).

Do đó:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}\)

Vậy \(m = 2020\).

Thay \(m =  - 2\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

Nhận xét thấy \(a - b + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - \dfrac{c}{a} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy khi \(m =  - 2\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).

Thay \(m =  - 2\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

Nhận xét thấy \(a - b + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - \dfrac{c}{a} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy khi \(m =  - 2\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).

Xét phương trình \({x^2} + \left( {2m - 5} \right)x + 4 - 2m = 0\,\,\,\,\left( * \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4.\left( {4 - 2m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 25 - 16 + 8m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Với \(m \ne \dfrac{3}{2}\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt\({x_1},\,\,{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m + 5\\{x_1}{x_2} = 4 - 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^3 + x_2^3 = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m + 5} \right)^3} - 3\left( {4 - 2m} \right)\left( { - 2m + 5} \right) = 1\\ \Leftrightarrow  - 8{m^3} + 60{m^2} - 150m + 125 - 60 - 12{m^2} + 54m = 1\\ \Leftrightarrow  - 8{m^3} + 48{m^2} - 96m + 64 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m + 4} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow  - 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2m = 4\\ \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 2\).

Xét phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\) có \(ac =  - 1 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\), áp dụng định lí Vi-ét t có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\).

Vì hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) trái dấu nên không mất tính tổng quát, ta giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3 + x_2^3\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\P = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|.\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3.x_2^3\\\,\,\,\, =  - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^3} =  - {\left( { - 1} \right)^3} = 1\end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_2}{x_1} = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 8\\ \Rightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 8 \\ \Leftrightarrow {x_2} - {x_1} = \sqrt 8 \,\,\left( {Do\,\,{x_2} > {x_1}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có: \(S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| = {\left( {\sqrt 8 } \right)^3} - 3\left( {\sqrt 8 } \right) = 8\sqrt 8  - 3\sqrt 8  = 5\sqrt 8  = 10\sqrt 2 \).

Vì \({S^2} - 4P = {\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} - 4.4 = 184 > 0\) nên \(\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 10\sqrt 2 X + 1 = 0\).

Vậy \(\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 10\sqrt 2 X + 1 = 0\).

Ta thấy \(a.c = 1.\left( { - 3} \right) =  - 3 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \ne 0\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2}}{{{x_1}}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{4^3} - 3.\left( { - 3} \right).4}}{{ - 3}}\\\,\,\,\,\, =  - \dfrac{{100}}{3}\end{array}\)

Vậy \(T =  - \dfrac{{100}}{3}\).

Theo câu trước với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Xét \(A = x_1^3 + x_2^3\)

\(\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} - 3\left( {m - 1} \right).2\\ = 8 - 6\left( {m - 1} \right)\\ = 8 - 6m + 6\\ = 14 - 6m\end{array}\)

Vậy \(A = 14 - 6m\)

Vì \(m \le 2\) nên ta có: \(6m \le 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 14 - 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2 \Leftrightarrow m = 2\).

Xét phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*) có:

\(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {m - 1} \right) = 2 - m\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\)

Vậy với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm.

Xét phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*) có:

\(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {m - 1} \right) = 2 - m\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\)

Vậy với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm.

Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm dương thì:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).

Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).

Vậy \(1 < m \le 2\).

Xét phương trình: \({x^2} - 19x + 7 = 0\)  có \(\Delta  = {19^2} - 4.7 = 333 > 0\)  \( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt\({x_1},\,\,{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 19\\{x_1}{x_2} = 7\end{array} \right..\)

Ta có: \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 19{x_1} + 7 = 0\\x_2^2 - 19{x_2} + 7 = 0\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x_2}{\left( {2x_1^2 - 38{x_1} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + {x_1}{\left( {2x_2^2 - 38{x_2} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + 120\\\,\,\,\,\, = {x_2}{\left[ {2\left( {x_1^2 - 19{x_1} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2} + {x_1}{\left[ {2\left( {x_2^2 - 19{x_2} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2} + 120\\\,\,\,\,\, = {x_2}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2} + {x_1}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2} + 120\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 120\\\,\,\,\,\, = {\left( {7 - 17} \right)^2}.19 + 120\\\,\,\,\,\, = {19.10^2} + 120\\\,\,\,\, = 1900 + 120\\\,\,\,\, = 2020\end{array}\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 5} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 - 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}\).

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m - 2} } \right) = 9\left( {m - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m - 2} \right) - 8\sqrt {m - 2}  - 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {m - 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} - 8t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 10t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} - 18t} \right) + \left( {10t - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t - 2} \right) + 10\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 2\) \( \Rightarrow \sqrt {m - 2}  = 2 \Leftrightarrow m - 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 6\).

Với \(m = 6\) thì phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {4x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 6\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).

Với \(m = 6\) thì phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {4x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 6\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).

Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( = {2020^2} - 2.2021 = 4076358\)

Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)

Ta có:  \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.\)

Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)

Ta có:  \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.\)