Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 + x_2^3\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Trả lời bởi giáo viên
Theo câu trước với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Xét \(A = x_1^3 + x_2^3\)
\(\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} - 3\left( {m - 1} \right).2\\ = 8 - 6\left( {m - 1} \right)\\ = 8 - 6m + 6\\ = 14 - 6m\end{array}\)
Vậy \(A = 14 - 6m\)
Vì \(m \le 2\) nên ta có: \(6m \le 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 14 - 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2 \Leftrightarrow m = 2\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng hệ thức Vi-ét