Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + 3m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 .\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 3m\\{x_1} + {x_2} = 2\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\\left( {{x_1} - \sqrt 2 } \right)\left( {{x_2} - \sqrt 2 } \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1}{x_2} - \sqrt 2 \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 > 0\\2 < 2\sqrt 2 \\3m > 0\\3m - 2\sqrt 2 + 2 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m > \frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3}\)
Kết hợp với điều kiện có nghiệm của phương trình ta được \(\frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3} < m < \frac{1}{3}\) thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương tình có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b{'^2} - ac > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\2\left( {m - 1} \right) > 0\\m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 - m + 3 > 0\\m - 1 > 0\\m > 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 4 > 0\\m > 1\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\,\,\forall m\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\end{array}\)
Vậy \(m > 3\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}} = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\) là:
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 4\left( {m - 1} \right)\, = 4\left( {1 - m} \right)\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên:
\(\begin{array}{l}{x_2}^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4m{x_2} - 4{x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4\left( {m{x_2} - 4} \right) - 4{x_2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {4 - m{x_2}} \right) = x_2^2 - 4{x_2} + 4 = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - m{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}} = \left| {{x_2} - 2} \right|\end{array}\)
Khi đó ta có:
\(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}} = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {{x_1} - 2} \right|\left| {{x_2} - 2} \right| = {\left[ {4\left( {1 - m} \right) + 12 - 8} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right| = {\left( {8 - 4m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| { - 12 - 2.4\left( {1 - m} \right) + 4} \right| = 64 - 64m + 16{m^2}\\ \Leftrightarrow \left| { - 16 + 8m} \right| = 8\left( {{m^2} - 4m + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = {\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - {\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2}.\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 1} \right] = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m - 2 = 1\\m - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\\m = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.
Giải phương trình (*) khi \(m = 2\) ta được tập nghiệm là:
Thay \(m = 2\) vào phương trình (*) ta có:
\({x^2} + 4\left( {2 - 1} \right)x - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 = {4^2} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2 + 4 = 2\\x = - 2 - 4 = - 6\end{array} \right.\).
Vậy với \(m = 2\) thì tập nghiệm của phương trình (*) là \(S = \left\{ {2; - 6} \right\}\).
Chọn phát biểu đúng. Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có \(a + b + c = 0\). Khi đó
+) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm \({x_1} = 1\), nghiệm kia là \({x_2} = \dfrac{c}{a}.\)
+ ) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm \({x_1} = - 1\), nghiệm kia là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}.\)
Hai số \(u = m;v = 1 - m\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = u + v = m + 1 - m = 1\\P = uv = m\left( {1 - m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow u,v\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - x + m\left( {1 - m} \right) = 0\).
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo hệ thức Vi-et ta có ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6$
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\).
Phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\) có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 37 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{5}{{ - 3}} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{3}\).
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\)
Phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.2.3 = 97 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\dfrac{{11}}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{109}}{4}\)
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \( - {x^2} - 4x + 6 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(N = \dfrac{1}{{{x_1} + 2}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 2}}\)
Phương trình \( - {x^2} - 4x + 6 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).6 = 40 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}.{x_2} = - 6\end{array} \right.\).
Ta có \(N = \dfrac{1}{{{x_1} + 2}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 2}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + 4}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}} = \dfrac{{ - 4 + 4}}{{ - 6 + 2.\left( { - 4} \right) + 4}} = 0\)
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 18x + 15 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(C = x_1^3 + x_2^3\)
Phương trình \(2{x^2} - 18x + 15 = 0\) có \(\Delta ' = 61 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 9\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3\\
\Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} = x_1^3 + x_2^3 + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
\Rightarrow x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)
\end{array}\)
Nên \(C = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {9^3} - 3.9.\dfrac{{15}}{2} = \dfrac{{1053}}{2}\)
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 2\end{array} \right.\).
Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
Phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$ có $\Delta = 468 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 20\\{x_1}.{x_2} = - 17\end{array} \right.\).
Ta có \(C=x_1^3+x_2^3\)$= x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2$
$=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$= {20^3} - 3.\left( { - 17} \right).20 = 9020$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
Phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Ta có $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} = \dfrac{{ - 3 + 6}}{{\dfrac{1}{2} + 3.\left( { - 3} \right) + 9}}$$ = 6$
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
Phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0$ có $a = m - 2;b = - 2m - 5;c = m + 7$
Vì $a + b + c = m - 2 - 2m - 5 + m + 7 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$.
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
Ta có $S = u + v = 15,P = uv = 36$ . Nhận thấy ${S^2} = 225 > 144 = 4P$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình
${x^2} - 15x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 3\end{array} \right.$
Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$) nên $u - v = 12 - 3 = 9$.
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
Ta có $S = 3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6$ và $P = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 4$
Nhận thấy ${S^2} = 36 > 16 = 4P$ nên hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x + 4 = 0$.
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
Theo Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a - 1\\{x_1} \cdot {x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a - 2\\{x_1}.{x_2} = - 4a - 3\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Vậy hệ thức cần tìm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\)$\left( {a = 1;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = - m + 2} \right)$
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$
Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.
