Hệ phương trình  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm là

Điều kiện: $x \ne  - 1;y \ne  - 1$

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + 3.\dfrac{y}{{y + 1}} =  - 1}\end{array}} \right.\)

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = a;\dfrac{y}{{y + 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình

 $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 3\\a + 3b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\a + 3\left( {3 - 2a} \right) =  - 1\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\a + 9 - 6a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\ - 5a =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3 - 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Thay trở lại cách đặt ta được

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = 2\\\dfrac{y}{{y + 1}} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 2\\y =  - y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right)$.