Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(Q\left( x \right) = \left( {3m - 1} \right){x^3} - \left( {2n - 5} \right){x^2} - nx - 9m - 72\) đồng thời chia hết cho \(x - 2\) và \(x + 3\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta sử dụng: Đa thức \(Q\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(Q\left( a \right) = 0\)
Áp dụng mệnh đề đã cho với \(a = 2,\) rồi với \(a = - 3,\) ta có
\(Q\left( 2 \right) = \left( {3m - 1} \right){2^3} - \left( {2n - 5} \right){2^2} - n.2 - 9m - 72\)\( = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\)
\(Q\left( { - 3} \right) = \left( {3m - 1} \right){\left( { - 3} \right)^3} - \left( {2n - 5} \right){\left( { - 3} \right)^2} - n.\left( { - 3} \right) - 9m - 72\)\( = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\)
Theo giả thiết, \(Q\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) nên \(Q\left( 2 \right) = 0\) tức là \(15m - 10n - 60 = 0\)(1)
Tương tự, vì \(Q\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 3\) nên \(Q\left( { - 3} \right) = 0\) tức là \( - 90m - 15n = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10\left( { - 6m} \right) = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{5}\\n = - \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.\)
Trả lời: Vậy \(m = \dfrac{4}{5};n = - \dfrac{{24}}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng: Đa thức \(Q\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(Q\left( a \right) = 0\)
Tính \(Q\left( 2 \right);Q\left( { - 3} \right)\)
Từ giả thiết ta giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}Q\left( 2 \right) = 0\\Q\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right.\) để tìm \(m;n.\)