Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được
Ta có $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $$ = \dfrac{{\sqrt {{a^4}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{\left| b \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$.
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $$ = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$$ = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$.
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right| = x$
Từ đó $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x$.
Với $x > 5$, cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$.
Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.
Ta có $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - 5} \right)} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \sqrt x $
Để $A = B$$ \Leftrightarrow \sqrt x = x \Leftrightarrow x - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$(loại vì $x > 5$ ).
Vậy không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được
Ta có $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$
Giá trị của biểu thức \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \) là:
Ta có \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \)$ = \dfrac{{\sqrt {12} .\sqrt 3 + 2\sqrt {27} .\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {25.6} $$ = \dfrac{{\sqrt {12.3} + 2\sqrt {27.3} }}{2} - \sqrt {25} .\sqrt 6 = \dfrac{{\sqrt {36} + 2\sqrt {81} }}{2} - 5\sqrt 6 = \dfrac{{6 + 2.9}}{2} - 5\sqrt 6 = 12 - 5\sqrt 6 $
Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\) ta được:
Ta có \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - \sqrt a .\sqrt b + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}$
$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}$$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{a - \sqrt {ab} + b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{a - b - a + \sqrt {ab} - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt {ab} - 2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)
Điều kiện: $7x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{5}{7}$
Với điều kiện trên ta có \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)$ \Rightarrow 9x - 7 = {\left( {\sqrt {7x + 5} } \right)^2} $
$\Leftrightarrow 9x - 7 = 7x + 5 $
$\Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6\,\left( {TM} \right)$
Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = 6 \Leftrightarrow 5 < {x_0} < 7$
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\) là
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 20 \ge 0\\x - 5 \ge 0\\9x - 45 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\4\left( {x - 5} \right) \ge 0\\9\left( {x - 5} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$
Với điều kiện trên ta có \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4.\)$ \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9\left( {x - 5} \right)} = 4$
$ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt 9 \sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}.3.\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2$
$ \Leftrightarrow x - 5 = {2^2} \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\,\left( {TM} \right)$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 9$.
Tính : \(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)
\(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)\( = 2\sqrt 6 - 4\sqrt 2 + 1 + 4\sqrt 2 + 8 - 2\sqrt 6 - \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)}\)\(= 9 - \sqrt {{9^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}}\)\( = 9 - \sqrt {81 - 17} \)\( = 9 - \sqrt {64} \)\( = 9 - 8 = 1\)
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \) với \(\left( {a > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} + {a^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + 2a + 1 + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^4} + 2{a^2}\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left[ {\dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right]^2}.\end{array}\)
Do \(a > 0\) nên \(A > 0\) và \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.\)
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
Điều kiện: \(x > 0.\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 3\\ \Rightarrow x + \sqrt x + 1 = 3\sqrt x \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 1\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(x=1\).
Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)
Ta có:
\(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} \)\(+ \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019} + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021} - \sqrt {2019} } \right)}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2} \)\(+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ....... + \sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)
Với \(x > 0\) ta có: \(A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{4}{{\sqrt x }}\)\( = \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x }}\) ta được:
\(\sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{4}{{\sqrt x }}} = 2.2 = 4\)\( \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \dfrac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy GTNN của \(A\) là \(5\) khi \(x = 4\)
