Câu hỏi:
2 năm trước
Với \(a \ge 0,b \ge 0,2a \ne 3b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} + \dfrac{{\sqrt {8{a^3}} - \sqrt {27{b^3}} }}{{3b - 2a}}\) ta được:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có: \(\dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} + \dfrac{{\sqrt {8{a^3}} - \sqrt {27{b^3}} }}{{3b-2a}}\)\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} + \sqrt {2a} .\sqrt {3b} + {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left( {2a + \sqrt {6ab} + 3b} \right)}}{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left( {\sqrt {2a} + \sqrt {3b} } \right)}}\)
\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{2a + \sqrt {6ab} + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{2a + 3b - 2a - \sqrt {6ab} - 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{ - \sqrt {6ab} }}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }}\)
Hướng dẫn giải:
Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta:
- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b \)
- Sử dụng \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\) với \(A \ge 0\).
- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\).
