Nghiệm nguyên âm  của phương trình $3x + 4y =  - 10$ là \(\left( {x;y} \right).\) Tính \(x.y.\)

Ta có \(3x + 4y =  - 10 \Leftrightarrow 3x =  - 4y - 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4y - 10}}{3} \Leftrightarrow x =  - y - \dfrac{{y + 10}}{3}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 10}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 3t - 10 \Rightarrow x =  - \left( {3t - 10} \right) - t =  - 4t + 10\)

Hay nghiệm nguyên của phương trình $3x + 4y =  - 10$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t + 10\\y = 3t - 10\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì \(x;y\) nguyên âm hay \(x < 0;y < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 4t + 10 < 0\\3t - 10 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 2,25\\t < \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\) mà \(t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t = 3\)

Suy ra \(x =  - 4.3 + 10 =  - 2;y = 3.3 - 10 =  - 1\) nên nghiệm nguyên âm cần tìm là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow x.y = 2\)