Gọi $\left( {x;y} \right)$ là  nghiệm nguyên dương  nhỏ nhất của phương trình $6x - 7y = 5$ .

Tính $x - y.$

Ta có \(6x - 7y = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{{7y + 5}}{6} \Leftrightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 5}}{6} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 6t - 5 \Rightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6} = 6t - 5 + t = 7t - 5\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 7t - 5\\y = 6t - 5\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t - 5 > 0\\6t - 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{5}{7}\\t > \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{5}{7}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 1$.

Do đó, nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi \(t = 1  \) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7.1 - 5\\y = 6.1 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow x - y =  1$.