Phương trình bậc nhất hai ẩn

Thay $x = 1;y = 1$ vào phương trình ta được

$\sqrt {m - 1} .1 - 3.1 =  - 1$   ĐK: $m\ge -1$

$\Leftrightarrow \sqrt {m - 1}  = 2 \Leftrightarrow m - 1 = 4$

$\Leftrightarrow m = 5$ (TM)

Vậy $m = 5$.

Ta có $3x + 0y = 12$$\Leftrightarrow x = 4$

Nghiệm tổng quát của phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = 4\end{array} \right.$

Thay từng cặp số vào phương trình ta thấy

Ta thấy có một cặp số  $\left( { - 1; - 8} \right)$ thỏa mãn phương trình (vì

$3.(-1)-2.(-8)=13$).

Để $d$ song song với trục hoành thì $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\3m - 1 \ne 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$

Để $d$ song song với trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\3m - 1 = 0\\6m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = \dfrac{1}{3}\\m \ne  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$

Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.

Để $d$ đi qua gốc tọa độ thì $\left( {m - 2} \right).0 + \left( {3m - 1} \right).0 = 6m - 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$

Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.

Ta có $3x - y = 3$$\Leftrightarrow y = 3x - 3$

Nghiệm tổng quát của phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 3x - 3\end{array} \right.$

Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng $y = 3x - 3$ đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; - 3} \right)$.

Ta thấy phương trình $5y = 7$ có $a = 0;b = 5$ và $c = 7 \ne 0$ nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng $y = \dfrac{7}{5}$ song song với trục hoành.

Ta có $3x - 2y = 5$

$\Rightarrow y = \dfrac{{3x - 5}}{2} = \dfrac{{2x + x - 5}}{2}$$= \dfrac{{2x}}{2} + \dfrac{{x - 5}}{2}= x + \dfrac{{x - 5}}{2}.$

Hay $y= x + \dfrac{{x - 5}}{2}.$

Đặt $\dfrac{{x - 5}}{2} = t \, (t \in Z)\, \Rightarrow x = 2t + 5$

$\Rightarrow y = 2t + 5 + t \Leftrightarrow y = 3t + 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có $- 5x + 2y = 7 \Leftrightarrow 2y = 7 + 5x$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{{5x + 7}}{2} \Leftrightarrow y = 2x + \dfrac{{x + 7}}{2}$

Đặt $\dfrac{{x + 7}}{2} = t \Rightarrow x = 2t - 7$

$\Rightarrow y = 2.\left( {2t - 7} \right) + t$

$\Leftrightarrow y = 5t - 14\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên âm nên $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t < \dfrac{7}{2}\\t < \dfrac{{14}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow t < \dfrac{{14}}{5}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \le 2$.

Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi $t = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2.2 - 7\\y = 5.2 - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 4\end{array} \right.$

Vậy nghiệm cần tìm là $\left( { - 3; - 4} \right)$

Ta có $- 4x + 3y = 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{{4x + 8}}{3} \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x + 8}}{3}$

Đặt $\dfrac{{x + 8}}{3} = t \Rightarrow x = 3t - 8 \Rightarrow y = 3t - 8 + t \Rightarrow y = 4t - 8\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{8}{3}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 3$.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8\\y = 4.3 - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$

$\Rightarrow x + y = 5$.