Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình $ - 5x + 2y = 7$.

Ta có \( - 5x + 2y = 7 \Leftrightarrow 2y = 7 + 5x \)

\(\Leftrightarrow y = \dfrac{{5x + 7}}{2} \Leftrightarrow y = 2x + \dfrac{{x + 7}}{2}\)

Đặt \(\dfrac{{x + 7}}{2} = t \Rightarrow x = 2t - 7 \)

\(\Rightarrow y = 2.\left( {2t - 7} \right) + t \)

\(\Leftrightarrow y = 5t - 14\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên âm nên $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t < \dfrac{7}{2}\\t < \dfrac{{14}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow t < \dfrac{{14}}{5}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \le 2$.

Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi \(t = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2.2 - 7\\y = 5.2 - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm cần tìm là \(\left( { - 3; - 4} \right)\)