Gọi $\left( {x;y} \right)$ là  nghiệm nguyên dương  nhỏ nhất của phương trình $-4x + 3y = 8$ . Tính $x + y$

Ta có \( - 4x + 3y = 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{{4x + 8}}{3} \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x + 8}}{3}\)

Đặt \(\dfrac{{x + 8}}{3} = t \Rightarrow x = 3t - 8 \Rightarrow y = 3t - 8 + t \Rightarrow y = 4t - 8\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{8}{3}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 3$.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8\\y = 4.3 - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$

$\Rightarrow x + y = 5$.