Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
+ Tính giá trị \(C.\)
Vì \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .\) Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
+ Tính giá trị \(B.\)
Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).\) Ta có:
\(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)
Suy ra \({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\)\( = 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\)
Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{84}}{{81}}}}B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^3} - {B^2} + {B^2} - B + 2B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^2}\left( {B - 1} \right) + B\left( {B - 1} \right) + 2\left( {B - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\).
Do đó ta có \(C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.\)
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\)
+ Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
