Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)

+ Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).

+ Nhận thấy:

\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| = \sqrt {x - 4}  + 2.\)

\(\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\)

\(\sqrt {{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = \left| {x - 4} \right|\)

Từ đó:

\(A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)

+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4}  - 2 < 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$

Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).

+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4}  + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16}  = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4}  = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).