Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là $R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)$

Ta có $V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$

Diện tích toàn phần của hình trụ ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}$

$= \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} + 2\pi {R^2}\mathop  \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{V}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Vậy với $R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$ thì ${S_{tp}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$.

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm $\dfrac{{45^\circ }}{{360^\circ }} = \dfrac{1}{8}$ (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là $V = \dfrac{7}{8}\pi {R^2}h = \dfrac{7}{8}\pi {.4^2}.5 = 70\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CAD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\left( K \right)$ có $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)$\Rightarrow$ phương án A đúng.

Xét tam giác vuông $AHB$ có $A{H^2} = AD.AB \Rightarrow$ phương án C đúng

Xét tam giác vuông $A{H^2} = AC.AE$  nên $AD.AB = AC.AE \Rightarrow$ phương án B đúng

Xét tam giác vuông $ABC$ có $HB.HC = A{H^2} \Leftrightarrow HB.HC = 144$ và $HB + HC = BC \Leftrightarrow HB + HC = 25$

Suy ra $HB = 9\,cm;\,HC = 16\,cm$ (Chú ý: $AB < AC$ nên $HB < HC$).

Xét tam giác vuông $AHB$ có $\dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow HD = \dfrac{{36}}{5}\,cm$

Tương tự ta có $HE = \dfrac{{48}}{5}cm \Rightarrow AD = \dfrac{{48}}{5}\,cm$.

Khi quay hình chữ nhật $ADHE$ quanh $AD$ ta được hình trụ có chiều cao $AD$ và bán kính đáy $HD$.

Nên ${S_{xq}} = 2.\pi HD.AD = \dfrac{{3456}}{{25}}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Thùng nước hình trụ có chiều cao $h = 1,6m$ và bán kính đáy $R = 0,5m$.

Diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là:

$2\pi Rh = 2.3,14.0,5.1,6 = 5,024\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right)$

Vậy diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là $5,024\,{m^2}$.