Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình trụ có thể tích \(V\) không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)\)
Ta có \(V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}\)
\( = \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} + 2\pi {R^2}\mathop \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{V}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)
Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) thì \({S_{tp}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức diện thể tích của hình trụ $V = \pi {R^2}h$ và công thức diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,b,\,c\) là \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\)
